38. Дифференциальные уравнения неразрывности потока.

Дифференциальное уравнение неразрывности для капельной жидкости выведем из предположения, что движущаяся, жидкость сплошь заполняет занимаемое ей пространство и что во время движения не происходит изменения ее массы (в силу закона сохранения вещества).

Чтобы выразить аналитически условие сплошности или постоянства массы в некотором объеме жидкости, выделим в движущейся жидкости элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат и рав­ными dх, dу и dz (рис. 2). Рис. 2

Рассмотрим протекание жидкости через грани параллелепипеда, параллельные координатной плоскости zoy. Скорость протекания жидкости через левую грань обозначим ν_x. В самом общем случае скорость протекания жидкости через правую грань будет отличной от скорости протекания жидкости через левую грань. Значение этой скорости можно получить, разложив ее в ряд Тэйлора и отбросив члены высшего порядка малости. Оно окажется равным ν_x + dx. Зная плотность жидкости , скорость ее движения и площадь сечений, через которые она проходит, можно легко подсчитать массу жидкости, проходящей через рассматриваемые грани параллелепипеда. Так через левую грань за интервал времени dt пройдет масса жидкости, равная ν_x dydzdt, а через правую грань – масса жидкости, равная dydzdt. Приращение массы жидкости в направлении оси х за время dt составит, очевидно, разницу этих выражений:

ν_x dydzdt = dxdydzdt.

Подобные же выражения могут быть получены на основании аналогичных рассуждений и для граней параллелепипеда, параллельных координатным плоскостям zох и хоу. Приращения массы жидкости в направлении осей z и y за время dt соот­ветственно будут равны (эти выражения предлагается полу­чить самостоятельно):

dxdydzdt;

и

dxdydzt.

Суммарное изменение массы в рассматриваемом элемен­тарном объеме жидкости за время dt определится суммой приращений массы жидкости в направлении осей х, у , z:

dm = dxdydzdt + dxdydzdt + dxdydzdt

= dxdydzdt .

Предполагая движущуюся жидкость капельной ( =const), при отсутствии пустот в объеме dxdydz, заключаем, что масса жидкости в рассматриваемом элементарном объеме должна сохраниться постоянной, то есть dm = 0, или:

dxdydzdt = 0.

Полученное уравнение и является уравнением неразрыв­ности для капельной жидкости в дифференциальной форме. Это уравнение является частным выражением закона сохране­ния массы. Совместное использование трех дифференциаль­ных уравнений движения идеальной жидкости и уравнения не­разрывности позволяет замокнуть систему уравнений для определения четырех неизвестных p, ν_x, ν_y и ν_z, характеризующих движение идеальной жидкости.

39. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости Навье-Стокса.

40. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Выше были получены дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости и уравнение неразрывности движения, образующие замкнутую систему уравнений. Для решения конкретных инженерных задач необходимо уметь находить интегралы этих уравнений. Прежде чем перейти к интегрированию уравнений движения идеальной жидкости, примем следующие до­полнительные условия:

1. из внешних массовых сил действует лишь сила тяжести;

2. г идродинамическое давление является функцией коор­динат и не зависит от времени;

3. жидкость является несжимаемой ( ) Умножим уравнения Д. Эйлера соответственно на dx,, dy и dz.

Проекции ускорения массовой силы (в данном случае си­лы тяжести) примут следующие значения при выбранном; направлении осей координат:

X=0; Y=0; Z=-g.

После преобразования получим:

или:

Деля на g, получим:

Интегрируя это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, придем к следующему результату:

Это уравнение называется уравнением Д. Бернули, оно справедливо при установившемся движении идеальной жидкости.

Для двух произвольных сечений элементарной струйки:

Это и есть уравнение Д. Бернули