35. Виды движения потока жидкости.

а) Понятие об одноразмерном неустановив­шемся движении потока

Если скорости движения частиц жидкости зависят только от длины оси потока и времени, то такое движение называется одноразмерным, неустановившимся дви­жением потока. При таком движении средняя скорость пото­ка V является функцией пути (длины оси потока от произ­вольной начальной точки) s и времени t:

V=f(s, t). (8)

Если средняя скорость потока не зависит от времени, то такое движение называют одноразмерным установившимся движением потока жидкости. В этом случае зависимость (8) получит следующий вид:

V=f (s,t) (9)

б) Неравномерное и равномерное движения жидкости

Движение жидкости, при котором средние скорости пото­ка меняются по его длине (за счет изменения площади живого сечения), называется неравномерным движением.

Д вижение жидкости, при котором средние скорости потока не меняются по его длине, а площадь живого сечения по­ тока остается неизменной по форме, называется равномер­ным движением.

в) Напорное, безнапорное и свободное движение жидкости

В том случае, если поток жидкости со всех сторон окру­жен твердыми стенками, его движение называется напорным.

Если поток жидкости не со всех сторон окружен твердыми стенками и по всей длине потока часть периметра живого сечения остается “свободной”, т.е. поток имеет свободную поверхность, то это движение называется безнапорным.

Если поток жидкости вообще не касается твердых стенок, а со всех сторон окружен газообразной или жидкой средой, то это ее движение называется свободным

36. Уравнение неразрывности для потока жидкости (в гидравлической форме).

Если представить установившийся поток несжимаемой жидкости совокупностью элементарных струек и провести два живых сечения потока на произвольном друг от друга рас­ стоянии, то эти живые сечения пересекут каждую из элементарных струек.

Если просуммировать элементарные расходы всех элемен­тарных струек, из которых состоит поток, в каждом из двух сечений, то получим очевидное равенство:

Полученные интегральные выражения представляют собой расходы потока в рассматриваемых живых сечениях (см. 4):

(10)

Поскольку живые сечения потока выбирались нами произ­вольно, постольку выражение (10) можно записать для лю­бых живых сечений потока:

( 11)

Таким образом, при установившемся движении несжимаемой жидкости расход ее в любом живом сечении потока остается постоянным.

Если выразить расход потока через среднюю скорость и, площадь живого сечения, то уравнение неразрывности (11) можно переписать в виде:

(12)

Отсюда можно получить такое соотношение средних ско­ростей движения потока и площадей живых сечений:

(13)

Следовательно, в установившемся потоке несжимаемой жидкости средние скорости движения обратно пропорциональны площадям живых сечений.

37. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера.

Для более глубокого изучения явлений, возникающих при движении жидкости, необходимо получить связь в аналити­ческом виде между гидродинамическими давлениями и скоро­стями движения в различных точках и в разные моменты времени с внешними силами, под действием которых и совер­шается движение.

Рассмотрим движение элементарного объема жидкости в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, который мысленно выделим в движущейся жидкости (рис. 1).

Рис. 1

В самом общем случае этот элементарный объем жидкости будет двигаться с каким-то ускорением, а его центр тяжести будет описывать какую-то криволинейную траекторию. Но согласно первому закону Ньютона, если материальная точка (представляемая элементарным объемом) совершает движение, отличное от прямолинейного и равномерного, то на нее действует некото­рая сила dP, величина которой согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы dm на векторную величину ее ускорения

d = dm . (1)

Будем полагать в дальнейшем, что рассматривается движение идеальной жидкости. Силы, действующие на элементарный объем идеальной жидкости, будут складываться из массовых и поверхностных сил. Если плотность жидкости , то масса ее в элементарном объеме dW = dxdydz будет равна dm= dW= dxdydz. Пусть на каждую единицу массы жидкости в элементарном объеме действует массовая сила Ф. Тогда ко всей элементарной массе будет приложена массовая сила величиной Фdm=Ф dxdydz. Обозначим проекцию единичной массовой силы Ф на оси х, у, z соответственно через X, У, Z.. Тогда проекции массовой силы на те же оси будут равны:

dxdydz; Y dxdydz и Z dxdydz.

Из поверхностных сил при движении идеальной жидкости на рассматриваемый объем жидкости будут действовать лишь силы гидродинамического давления, которые будут прикладываться к шести граням параллелепипеда. Найдем вели­чину сил давления жидкости на грани, параллельные коор­динатной плоскости zоу. Если гидродинамическое давление на левой грани будет равно р, то при помощи разложения в ряд Тейлора, отбрасывая члены высшего порядка малости, получим на правой грани гидродина­мическое давление, равное р + dx.

Тогда давление жидкости на рассматриваемые грани пло­щадью dydz будет равно соответственно pdydz и

dydz.

Подставим проекции всех действующих на элементарный объем жидкости сил в уравнение баланса сил. После преобразования и сокращения получим:

Полученные дифференциальные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости. Эти уравнения были получены выдающимся математиком Л.Эйлером в 1755 году.

В случае движения капельной жидкости ( ) в эти уравнения входят четыре неизвестных: P, ν_x, ν_y, ν_z.

Так как число уравнений менее числа неизвестных функ­ций, входящих в них, то эта система уравнений является не­замкнутой. Следовательно, обойтись лишь системой трех дифференциальных уравнений движения для решения гидро­динамических задач в общем случае не представляется воз­можным. Для замыкания этой системы уравнений необходимо получить еще одно дополнительное уравнение. Таким уравне­нием и будет уравнение неразрывности.