4.8. Поиск оптимальных условий
Во многих случаях целью моделирования является отыскание таких величин или уровней независимых переменных, при которых отклик или зависимая переменная достигает оптимальных (максимальных или минимальных) значений. Если зависимая и независимая переменные количественны и непрерывны, то для решения задачи поиска оптимума обычно используется методология поверхности отклика (МПО).
Если
обозначить зависимую переменную через
,
а независимые переменные через
,
где
-
число факторов, и предположить, что все
переменные количественны, непрерывны
и измеримы, то уравнение поверхности
отклика можно записать в виде:
.
Очень
полезно иметь геометрическое представление
поверхности отклика, возможно двух
типов: 1) трехмерное, изображающее
зависимость отклика
от двух независимых переменных в
прямоугольной системе координат, и
2) другое полезное представление
поверхности отклика можно получить,
изображая на плоскости
проекции на нее линий постоянного
отклика
,
проведенных на поверхности отклика
(контуры отклика). Такое изображение
поверхностей отклика аналогично
изображению на топографических каратах
рельефа местности посредством контуров
равной высоты. Безусловно, геометрические
представления поверхности отклика
ограничены трехмерными изображениями.
Однако геометрическое представление
трехмерных поверхностей отклика вида
помогает понять, что происходит в более
общем случае - при
независимых переменных.
Методология поверхности отклика обычно основана на исследовании поверхности отклика с помощью ряда небольших полных или неполных факторных экспериментов. Эти небольшие эксперименты могут использоваться для разрешения двух вопросов. Первый из них связан с выбором такого направления перемещения для проведения следующего эксперимента, чтобы приблизиться к оптимальной точке. Второй возникает тогда, когда мы уже находимся в достаточной близости к точке экстремума. Этот второй вопрос - вопрос о виде уравнения поверхности отклика вблизи оптимальной точки.
Одним
из традиционных методов поиска оптимума
(максимума) является метод покоординатного
подъема. Идея метода заключается в
следующем: например фиксируется
и варьируется
с целью еайти максимум по
при фиксированном значении
.
Зафиксировав
в найденной точке максимума, ищется
максимум по
,
и так далее. Однако на некоторых
поверхностях описанный метод поиска
не работает и тогда приходится применять
другие методы, описанные в соответствующей
литературе.
Если известно точное математическое выражение функции отклика, то отыскание оптимальной точки можно сравнительно просто осуществить аналитическими методами. В этом случае задача состоит в том, чтобы как можно быстрее выйти в близкую к оптимуму область, а затем воспользоваться аналитическими методами локального представления этой функции в окрестности точки оптимума. Так как обычно мы не знаем вид поверхности отклика, то необходимо использовать в качестве аппроксимации какую-либо гибкую, плавно изменяющуюся функцию. В качестве такой функции обычно используют полином первого порядка
или полином второго порядка
где
параметры
,
,
и т.д. оцениваются с помощью эксперимента.