4.6. Функциональная модель

Функциональная модель определяет количество элементов структурной модели, которые должны служить действительными измерителями отклика, т.е. определять, сколько необходимо иметь различных информационных точек. Подобные функциональные модели могут быть либо современными, либо несовершенными. Функциональная модель называется совершенной, если в измерении отклика участвуют все ее элементы, т.е. . Функциональная модель называется несовершенной, если число имеющих место откликов меньше числа элементов, т.е. . Так как структурная модель определяет, то что мы хотели бы иметь, то идеальным был бы случай, когда функциональная модель совпадает со структурной. К сожалению, большинство модельных исследований имеет ограничения (время, денежные средства и производительность вычислительных машин). Во многих случаях эти ограничения устанавливают довольно жесткие границы для возможностей экспериментального исследования и не позволяют применять классические статистические процедуры. Функциональная модель помогает выбрать приемлемый компромисс между элементами и ресурсами. Детальное обсуждение функциональных моделей выходит за рамки данного курса, но его можно найти в соответствующей литературе.

4.7. Факторный анализ. Неполный факторный анализ

Один из традиционных методов исследований многофакторных экспериментов (в которых исследуется влияние факторов на отклик) состоит в фиксации всех факторов, кроме одного, на некоторых уровнях и вариации уровней этого фактора. При такой схеме факторы изменяются и исследуются поочередно.

Факторным экспериментом называется такой эксперимент, в котором все уровни данного фактора комбинируются со всеми уровнями всех других факторов. Под "симметричностью" понимается одинаковое количество уровней для всех факторов.

В случае, когда желательно исследовать влияние на отклик изменения двух или более факторов, факторный анализ представляет собой наиболее эффективный метод исследования. Под эффективностью понимается то, что факторный анализ позволяет получить требуемую информацию при заданной степени точности с минимальными затратами усилий. Поэтому факторный анализ играет важную роль во многих исследованиях с использованием имитационной модели.

Достоинства факторного анализа:

1. Максимальная эффективность при оценке влияния переменных.

2. Правильная идентификация и интерпретация взаимодействия между факторами (если они имеют место).

3. Влияние фактора оценивается при нескольких уровнях факторов, и тем самым полученные результаты справедливы в более широком диапазоне условий.

4. Простота применения и интерпретации.

При моделировании системы, большое внимание уделяется наиболее быстрому и точному выявлению важных, существенных переменных системы. Основная трудность решения такой задачи состоит в том, что полное число возможных комбинаций переменных катастрофически растет с возрастанием числа переменных. Например, если мы имеем семь факторов с двумя уровнями каждый, то даже без повторений необходимо 2⁷=128 выборочных точек. Очевидно, что каждое повторение удваивает это число. Наряду с возрастанием полного числа комбинаций растет и число взаимодействий высокого порядка. Некоторые из взаимодействий высокого порядка могут рассматриваться как оценки ошибки, поскольку взаимодействия выше второго порядка бывают трудно объяснимыми, даже если они признаются существенными.

В таблице 4.1 приведены количества главных эффектов и взаимодействий высокого порядка, которые могут быть выявлены при полном исследовании 2ⁿ комбинаций.

Таблица 4.1.

2ⁿ-факторные эффекты

n	2n	Число	Число взаимодействий
		эффектов	1-й порядок	2-й порядок	3-й порядок	4-й порядок	5-й порядок
5	32	5	10	10	5	1	-
6	64	6	15	20	15	6	1
7	128	7	21	35	35	21	7
8	256	8	28	56	70	56	28

Так как полный факторный анализ может потребовать слишком много машинного времени, необходимо располагать методами отбора существенных переменных, т.е. методами отыскания наиболее важного подмножества переменных, влияющих на отклик. Оказывается, что если нас не интересуют взаимодействия высокого порядка, мы можем получить большое количество информации с помощью исследования лишь некоторой части (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.) всех возможных комбинаций. Если в факторном эксперименте производится часть возможных повторений, то план эксперимента называется неполным факторным планом. Этот метод позволяет исследователю построить серию коротких экспериментов для выявления среди громадного числа переменных небольшого количества наиболее существенных, а затем сконцентрировать на них все свое внимание.

Всякий раз, когда мы используем выборку, меньшую, чем этого требует полный факторный план, мв платим за это риском смешивания эффектов. Под смешиванием здесь понимается то, что статистик измеряя один эффект, в то же время измеряет, возможно, и некоторый другой эффект. Например, если главный эффект смешивается с взаимодействием более высокого порядка, то эти два эффекта уже невозможно отделить друг от друга. Таким образом, если наш анализ показывает наличие некоторого эффекта, то мы не можем с уверенностью сказать, главны ли это эффект, или эффект взаимодействия, или некоторая аддитивная комбинация этих эффектов. При построении неполного факторного плана экспериментатор должен определить эффекты, смешивание которых он может допустить. Вообще говоря, лучше спутать взаимодействия высокого порядка, чем главные эффекты. Обычно можно надеяться, что взаимодействие высокого порядка отсутствует, и можно получить разумную информацию о главных эффектах и взаимодействиях низкого порядка. Когда два или более эффекта смешиваются, то говорят, что они являются совместными. Успех неполного факторного эксперимента достигается в случае, если его план позволяет не смешивать ни один важный эффект с другим.

Если число факторов невелико (обычно меньше пяти), то неполный факторный эксперимент нецелесообразен вследствие сильного смешивания эффектов, не позволяющего различить главные эффекты и важные взаимодействия. Основные принципы построения неполных факторных планов эксперимента описаны в любой достаточно подробной книге по планированию эксперимента.

Таким образом, неполный факторный анализ используется главным образом не начальной стадии исследования. С его помощью выявляют наиболее существенные переменные в случае наличия более четырех факторов. Если в результате такого отбора мы уменьшим число переменных да четырех и меньше, то можем затем легко применить полный факторный анализ.