2.7. Моделирование компонентов

Пытаясь моделировать отдельные компоненты или элементы (подсистемы, сложные системы), мы сталкиваемся с задачей нескольких типов, которые в широком смысле можно разделить на прямые и обратные задачи. Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.5. Здесь можно различить 3 основных объекта: вход, собственно систему, отклик (или выход).

Рис. 2.5. Простая система

Чтобы моделировать такой функциональный блок, мы должны знать или предположить известные два из этих трех объектов. Если мы знаем уравнения, описывающие поведение динамической системы, то путем решения прямой задачи можно найти отклик системы на заданный вход (входной сигнал). Это наиболее близкая к идеалу система, которую относительно просто моделировать. Уравнения можно вывести в ходе проектирования системы или же написать на основе предыдущего исследования подобных систем. К задачам подобного типа относится и такая обратная задача: по заданному математическому описанию системы и ее известному отклику найти входной сигнал, вызвавший этот отклик. Этот случай, когда известны уравнения, описывающие систему, предполагается заданным требуемый сигнал на выходе системы (отклик) и требуется найти входные сигналы, которые вызовут такой отклик, относятся к классу задач управления.

Гораздо более сложная задача возникает, когда в заданной совокупности входных и соответствующих выходных сигналов системы найти необходимое математическое описание самой системы. Эта задача известна как задача идентификации или структурного синтеза системы. Трудность здесь состоит в том, что одно и то же соотношение между входами и выходами может согласовываться с некоторыми математическими выражениями. Предположим, например, что мы вводим в систему целые числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (в указанном порядке) и получаем на выходе числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Здесь разумно предположить, что, если на входе действует число n, то на выходе появляется число 2n, и можно предсказать, что следующими в выходной последовательности будут целые числа 14, 16…, 2n. Однако исходные данные столь же хорошо согласуются с формулой

2n + (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6)

или

Основываясь на этой формуле, можно предсказать, что следующие числами в выходной последовательности будут 734, 5056 и т.д. – результат, совершенно отличающийся от первого.

Вообще говоря, назначение компонентов системы состоит в том, чтобы преобразовать входные сигналы в выходные. Имеются три разных вида компонентов, составляющих основные функциональные блоки сложных систем:

1) Элементы преобразования, в которых один или несколько входных сигналов, будучи обработанными некоторым наперед заданным образом, преобразуются в один или несколько выходных сигналов.

2) Элементы сортировки, в которых один или несколько входных сигналов распределяются (сортируются) по двум или нескольким разным выходам.

3) Элементы обратной связи, в которых входной сигнал некоторым образом изменяется в зависимости от выходного сигнала.

Эти функциональные блоки схематически показаны на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Основные компоненты системы

В зависимости от назначения модели нас может интересовать либо специфический характер работы компонентов, либо только время, которое необходимо компонентам для выполнения своей работы. Процесс преобразования может быть либо детерминистским (выходной сигнал однозначно определяется входным), либо стохастическим (при заданной входном сигнале значение выходного сигнала неопределенное). В любом случае степень трудности, с которой мы определяем и задачи, и структуру компонентов системы, весьма сильно зависят от нашего априорного знания системы. Если природа исследуемого процесса совершенно не известна или известна весьма слабо, мы имеем дело с задачей идентификации черного ящика. В других случаях мы можем, однако, многое знать о природе процесса и испытывать недостаток сведений лишь о конкретных значениях некоторых параметров. Такую проблему иногда называют задачей идентификации серого ящика.

Как уже отмечалось, путь, которым следуют, пытаясь найти природу и структуру процесса преобразования в каждом компоненте системы, зависит от априорного знания системы. Прежний опыт построения моделей показывает, что разработчик модели нередко попадает в некоторые типичные ситуации и, в частности, в следующие:

1. Структура системы должна быть хорошо известна или настолько проста и прозрачна, что ее можно выяснить путем непосредственного изучения или же обсуждения с теми, кто разработал или эксплуатировал конкретную подсистему.

2. Структура не очевидна, но предлагается аналогичной некоторой структуре, для которой существует теоретическое описание.

3. Структура не ясна, но ее можно выявить из статистического анализа данных, описывающих работу системы. При этом обычно требуется знание некоторых переменных, играющих важную роль в поведении системы.

4. Невозможно разделить путем анализа наличных данных эффекты, вызываемые отдельными переменными, и это вынуждает обратиться к эксперименту.

5. Никаких данных относительно работы системы нет, и невозможно провести над ней прямой эксперимент.

2.8. Идентификация закона распределения

Если некоторые из элементов системы ведут себя стохастически, то в процессе обычного моделирования возникает проблема: как проверить совместимость экспериментальных данных с некоторым теоретическим распределением? Иначе говоря, возникает вопрос: соответствует ли частота наблюдаемых выборочных значений той частоте, с которой они должны бы появляться при некотором вероятностном распределении, отвечающем определенному теоретическому закону? Если частота наблюдаемых событий (значений измеряемой величины) близка к величине, предсказываемой теорией, то в дальнейшем можно строить модель, исходных или ожидаемых событий на основе теоретического распределения.

Обычно не представляется возможным высказывать разумную догадку (гипотезу) относительно распределения случайной переменной, пока не будет собрано и не проанализировано достаточное количество относящихся сюда объективных (учетных или экспериментальных) данных. Собранные данные обычно суммируют в виде распределения относительных частот (гистограммы). Если имеют дело с дискретной переменной, то записывают частоты появления каждого из ее возможных значений. Если переменная непрерывная, разбивают весь диапазон ее значений на равные интервалы (группы) и записываем частоты появления каждой группы. Тогда относительная частота для каждой группы равна частному от деления наблюдаемого числа событий данной группы на общее число событий.

Закончив построение гистограммы, аналитик переходит к подбору подходящего к данному случаю теоретического закона распределения вероятностей. Успех этого дела будет во многом зависеть от здравого смысла и опыта работы аналитика. Один из способов – визуальное сравнение полученной гистограммы с несколькими кривыми теоретических распределений. Однако такое визуальное сравнение позволяет лишь предположить, к какому теоретическому распределению надо попытаться “подогнать” эксперимент и никогда не даст достаточных оснований, чтобы окончательно принять некоторую гипотезу (теоретическое распределение).

После того, как аналитик подобрал одно или несколько теоретических распределений, с которыми, как он предполагает, можно согласовать экспериментальные данные, ему следует определить параметры распределения с тем, чтобы подвергнуть их проверке по статистическим критериям.