Несколько усложняется решение задачи выпуклого программирования в случае ограничений в виде неравенств и ограничений неотрицательности.
Задача ВП в данном случае имеет вид
Z
(3.28)
= f (x1 ,x2 ,…, xn ) max,
(3.29)
1(x1 ,x2 ,…, xn ) = 1,2(x1 ,x2 ,…, xn ) = 2,
- - - - - - - - - - - - - - -
(3.30)
m(x1 ,x2 ,…, xn ) = m,xj ≥ 0, j=1,2,…,n.
Д
(3.31)
ля отыскания точки условного экстремума задачи (3.28)-(3.29) следует исходить из следующих условий
(3.32)
= 0, j=1,2,…,n,i ≥0, i =0 , ≥0,
где - функция Лагранжа вида
= f (x1 ,x2 ,…, xn ) + i (b i - i (x1 ,x2 ,…, xn )).
Если принять во внимание условие неотрицательности xj ≥ 0, j=1,2,…,n , то вместо равенств (3.31) следует пользоваться равенствами
xj = 0, где xj ≥ 0, ≤ 0.
С учетом вида функции Лагранжа условия нахождения точка условного максимума задачи (3.28)-(3.30) можно будет записать так:
I группа условий:
- i ≤ 0,
( - i ≤ 0)xj = 0,
xj ≥ 0, j=1,2,…,n;
II группа условий:
bi - i (x1 ,x2 ,…, xn )≥0,
i ( i (x1 ,x2 ,…, xn ) - b1) = 0,
xj ≥ 0, i=1,2,…,m.
Условия I и II называются условиями Куна -Таккера . Из совокупности этих условий выделим для более глубокого рассмотрения следующие отношения.
Условия дополняющей нежесткости Куна-Таккера.
I'. Если - i < 0, то xj 0,
если xj 0 , то - i = 0.
II'. Если i(x1 ,x2 ,…, xn ) < bi , то i = 0,
если i > 0 , то i(x1 ,x2 ,…, xn ) = bi.
Условия I' и II' называются условиями дополняющей нежесткости. Рассмотрим их экономическую интерпретацию, исходя из прежней экономической постановки задачи ВП: x1 ,x2 ,…, xn - план производства продукции, f (x1 ,x2 ,…, xn ) - прибыль от реализации продукции, i(x1 ,x2 ,…, xn ) - потребность в ресурсе i по данному варианту производственной программы, x1 ,x2 ,…, xn , bi - лимит ресурса i.
Ранее нами было установлено, что i есть оценка ресурса i по его влиянию на оптимальное значение целевой функции. Эта оценка равна производной = λoi. Это справедливо для всех i.
Рассмотрим содержание соотношений II'. Положительность оценки λoi (λoi>0) указывает на то, что ресурс bi в оптимальном плане используется полностью, то есть i(xo1,xo2,…, xon) = = bi . Если ресурс используется не полностью, то есть i(xo1,xo2,…, xon) < bi , то этот ресурс не является дефицитным, его оценка равна нулю: λoi =0.
Аналогичным будет подход при рассмотрении содержания условий I'.
Продукт j целесообразно включить в план производства (xj > 0) только в том случае, когда результатная оценка продукции совпадает с ее затратной оценкой i , то есть когда достигается баланс результата и затрат, связанных с малым выпуском продукции. Если же получаемый результат (оценка продукции) меньше затрат ресурсов i , то включение в план производства продукта целесообразно (xj = 0).
Рассмотрим формулировку условий дополняющей нежесткости применительно к задаче линейного программирования. Для такой задачи
Z
= f
(x1
,x2
,…, xn
) =
jxj
max,
i(x1
,x2
,…, xn
) =
ijxj
≤
bi
,
i=1,2,…,m,
xj ≥ 0, j=1,2,…,n,
=
λoi
=
yoi
;
= cj
;
= aij
;
i
=
oi
aij
.
Условия дополняющей нежесткости для задачи линейного программирования запишутся следующим образом.
Если
ijyoi
>
cj,
то xoj
= 0;
если xoj > 0 , то ijyoi = cj ;
если ijxoj < bi, то yoi = 0;
если yoi > 0, то ijxoj = bi.
Полученные соотношения были изучены нами еще в теории линейного программирования.