Рассмотрим теперь способ решения задачи выпуклого программирования в случае ограничений неотрицательности и ограничений в виде равенств .
(3.12)
Задача имеет видZ = f (x1 ,x2 ,…, xn ) max,
(3.13)
1(x1 ,x2 ,…, xn ) = 1,2(x1 ,x2 ,…, xn ) = 2,
- - - - - - - - - - - - - - -
(3.14)
m(x1 ,x2 ,…, xn ) = m,xj ≥ 0, j=1,2,…,n.
Вновь для решения задачи применим метод множителей Лагранжа.
Составим функцию Лагранжа
(x1 ,x2 ,…, xn, λ1, λ2,…, λm ) = f (x1 ,x2 ,…, xn ) + 1 [b1 - 1(x1 ,x2 ,…, xn )].
(3.15)
Нахождение экстремума функции (3.12) при условии (3.13) и (3.14) сводится к нахождению экстремума функции Лагранжа при ограничениях неотрицательности, то есть к решению задачи ВП при ограничениях неотрицательности. Такие задачи мы уже рассматривали. Необходимое условие экстремума функции будет записываться так:x
(3.16)
j
= 0, j=1,2,…,n,
λi
=0, i=1,2,…,m.
Запишем условие (3.15) в развернутом виде (случай задачи на максимум):
е
(3.17)
сли xj 0, то = 0; если xj 0,то ≤ 0;или,
если xj
0, то
-
i
= 0; если xj
0, то
-
i
≤ 0.
Что касается условия (3.16), то относительно λi оно является тождеством. Действительно
λi = λi ( bi - i(x1 ,x2 ,…, xn )) = 0.
Согласно условию задачи 1(x1 ,x2 ,…, xn )=bi ,поэтому λi ( bi - i(x1 ,x2 ,…, xn )) = 0
Условия bi - i(x1 ,x2 ,…, xn ) добавляются к условиям (3.17). Получившаяся система n+m неизвестными позволит решить задачу (3.12)-(3.14).
3.3.Задачи вп при ограничениях типа неравенств
(3.18)
Перейдем к изучению задач выпуклого программирования в виде неравенств. В простейшем случае это такие задачи:Z = f (x1 ,x2 ,…, xn ) max,
1(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ 1,
(3.19)
2(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ 2,- - - - - - - - - - - - - - -
m(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ m,
Путем добавления в левые части неравенств (3.31) неотрицательных переменных xn+1 ,xn+2 ,…, xn+m перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам
(3.20)
1(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+1= 1,2(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+2= 2,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
m(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+m= m.
Задача(3.18)-(3.20) является задачей ВП с ограничениями в виде равенств. Для ее решения, как и ранее, применим метод множителей Лагранжа
(x1 ,x2,…,xn+1,…, xn+m ,λ1, λ2,…, λm) = f (x1 ,x2 ,…, xn ) + i (bi– i(x1 ,x2,…,xn)- xn+i).
Вместо задачи (3.18)-(3.20) будем решать задачу на безусловный экстремум функции Лагранжа. Необходимое условие экстремума функции Лагранжа записывается так:
(3.21)
= 0, j=1,2,…,n,
(3.22)
=0, i=1,2,…,m,
(3.23)
=0, i=1,2,…,m.Учитывая вид функции , условия (3.21), (3.23) можно выразить следующим образом:
(3.24)
= - i = 0,
= - i = 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
= - i = 0,
= b1 - 1(x1 ,x2 ,…, xn ) - xn+1 = 0,
(3.25)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -
=
bm
-
m(x1
,x2
,…, xn
) - xn+m
=0.
Условия (3.22) с учетом неотрицательности переменных следует уточнить и записать в виде
(3.26)
∙ xn+i = 0, i=1,2,…,m.Если
экстремум функции
достигается
внутри области допустимых решений (xn+i
>
0), то в точке экстремума
= 0, на границе области (xn+i
=
0):
≤ 0 в случае выпуклости
,
< 0 - при вогнутости
.
Так как
= -
i
, то условие (3.26) примет вид - λi
xn+i
=
0. Отсюда
λi
xn+i
=
0, однако
xn+i
= bi–
i(x1
,x2,…,xn).
Следовательно,
получим
λi (bi– i(x1 ,x2,…,xn)) = 0.
В связи с тем, что = - i ≤0, получим i ≥0. Окончательно условие (3.26) можно записать так:
λ
(3.27)
i (bi– i(x1 ,x2,…,xn)) = 0,bi– i(x1 ,x2,…,xn) ≥ 0, i ≥0.
Причем,
если
i
>0,
то bi–
i(x1
,x2,…,xn)
= 0, если
i
=0,
то bi–
i(x1
,x2,…,xn)
≥ или
i(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ i.
Для нахождения решения задачи (3.18)-(3.19) достаточно условий (3.24), (3.27). В них не входят переменные xn+i . Следовательно, можно и не вводить эти переменные в рассмотрение. Сразу можно было бы для задачи (3.18)-(3.19) составлять функцию Лагранжа
= f (x1 ,x2 ,…, xn ) + i (b i - i (x1 ,x2 ,…, xn )).
Тогда необходимое условие экстремума этой функции включаю бы, как и прежде, условие (3.24). Условие же (3.27) для этой функции стало бы таким:
≥0, i =0, i ≥0, i=1,2,…,m,
где = b1 - 1(x1 ,x2 ,…, xn ).