3. Количественные характеристики распределения

2.3.1. Среднее арифметическое

Предположим, что в результате измерений получены величины х₁, х₂, х₃, . . . , х_n, число которых равно n. Тогда среднее арифметическое определяют по следующей формуле:

или (2.1)

В тех случаях, когда измеряемые величины разделяют на интервалы, то, обозначив значения середины каждого интервала через х_j=х₁, х₂, х₃,…, х_к, а частоту в этих интервалах соответственно через f_j = f₁, f₂ , …., f_k , среднее арифметическое вычисляют по следующей формуле:

В сокращенном виде формула будет иметь вид:

(2.2)

2.3.2. Рассеивание значений

Для количественной оценки рассеивания значений часто используют сумму квадратов отклонений, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Сумма квадратов отклонений S

Отклонением называют разницу между каждым измеренным значением величины и ее средним арифметическим (х_i - ). Если применить это ко всем измеренным данным, то полученная сумма возведенных в квадрат отклонений и будет представлять собой сумму квадратов (отклонений) S:

(2.3)

Дисперсия _е²

Если сумма квадратов отклонений S выражает рассеивание значений во всем комплексе данных, то дисперсия _е², полученная делением S на число n -1 данных, является мерой рассеивания на каждую отдельную единицу данных:

(2.4)

Среднее квадратическое отклонение _е

Взятый с положительным знаком квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим отклонением _е:

(2.5)

2.4. Нормальное распределение

При большом числе данных соответственное сужение интервалов в распределении влечет за собой постепенное приближение гистограммы к гладкой кривой. Если же число данных будет беспредельно большое, то гистограмма превратится в безукоризненную кривую. В этом случае кривая может рассматриваться в качестве распределения генеральной совокупности (рис. 2.2).

Если кривая распределения имеет тенденцию в центре обнаруживать один пик, причем симметрично справа и слева от среднего арифметического она принимает форму колокола, то такую кривую называют нормальным распределением, или распределением Гаусса.

Закон, или функцию нормального распределения выражают следующей формулой:

, (2.6)

где  - среднее арифметическое распределения;  - среднее квадратическое отклонение.

Величины  и  называют параметрами распределения. Для удобства вычисления функции распределения y = f (x) случайные величины нормируют по формуле:

.

Рис.2.2 Нормальное распределение	Рис. 2.3 Нормированное нормальное распределение

Нормальное распределение с параметрами  = 0 и  =1 называется нормированным нормальным распределением (рис.2.3.). Функция нормального нормированного распределения примет вид:

(2.7)

При анализе качества продукции количество замеров не всегда бывает достаточным для определения законов распределения. Но если заранее известен закон распределения, то для определения важнейших числовых характеристик распределения нужно небольшое количество замеров. В том случае, когда закон распределения случайной величины близок к нормальному, для обработки результатов опытов необходимо определение двух статистических оценок параметров распределения: и _е. В связи с этим, проверка нормальности распределения составляет основное содержание предварительной обработки результатов эксперимента.