1. Предмет физики. Теория и эксперимент в физике

Физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи.

Основным методом исследования в физике является опыт. В результате обобщения опытных фактов устанавливаются физические законы в виде соотношений между физическими величинами. Так были открыты закон всемирного тяготения Ньютона, закон Кулона и т.д.

Экспериме́нт, также опыт, в научном методе — метод исследования некоторого явления в управляемых условиях. Отличается от наблюдения активным взаимодействием с изучаемым объектом. Обычно эксперимент проводится в рамках научного исследования и служит для проверки гипотезы, установления причинных связей между феноменами. Эксперимент является краеугольным камнем эмпирического подхода к знанию. Критерий Поппера выдвигает возможность постановки эксперимента в качестве главного отличия научной теории от псевдонаучной. Эксперимент — это метод исследования, который воспроизводится в описанных условиях неограниченное количество раз, и даёт идентичный результат.

Теория  — учение, система идей или принципов. Является совокупностью обобщенных положений, образующих науку или ее раздел. Теория выступает как форма синтетического знания, в границах которой отдельные понятия, гипотезы и законы теряют прежнюю автономность и становятся элементами целостнойсистемы ^[1]. В теории каждое умозаключение выводится из других умозаключений на основе некоторых правил логического вывода. Способность прогнозировать — следствие теоретических построений. Теории формулируются, разрабатываются и проверяются в соответствии с научным методом.

2. Основные понятия механики, модели в механике. Система отсчета, тело отсчета. Способы задания положения тела

Механика – раздел физики, изучающий закономерности движения, причины, вызывающие или меняющие это движение.

Механическое движение – изменение в течение времени положения тел относительно друг друга.

1)Кинематика – раздел физики, изучающий движение тел, пренебрегая причинами, которые вызвали это движение.

Механика: ньютоновская (классическая) (υ<<c, ее законы справедливы для макротел, движущихся со скоростями много меньшими скорости света) и релятивистская (υ<c, четырех мерное пространство времени, если скорости тел сравнимы со скоростью света)

2) динамика - изучает законы движения тел и причины, вызывающие их движение

3) статика - изучает законы равновесия тел

Материальная точка - это тело, размерами которого в условиях решаемой задачи можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел.

Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение и отсчитываемых время часов.

Тело отсчета – это тело, относительно которого опре-деляется положение другого тела.

Способы задания положения тела в пространстве

1. Описание движения с помощью параметров траектории .  Пусть траектория движения известна. Тогда, зная зависимость пути, пройденного телом, от времени, можно определить его положение в любой момент.

2. Векторный способ описания движения.  Положение тела в пространстве можно задать также в виде радиуса-вектора r . В произвольный момент времени оно определяется зависимостью r (t) . Вектор перемещения s (t) рассчитывается как разность между величинами радиуса-вектора r (t) в различные моменты времени t .

3. Координатный способ описания движения .    Поскольку векторная величина может быть представлена как сумма ее проекций, то положение тела в пространстве в любой момент времени можно определить, исходя из зависимостей от времени проекций радиуса-вектора на оси координат x(t), y(t), z(t) 

3. Кинематика материальной точки: Путь, перемещение, траектория. Скорость (средний вектор скорости, мгновенная скорость). Проекции вектора скорости на оси координат. Равномерное движение.

Радиус-вектор – вектор, проведенный из начала координат в данную точку.

Траектория – линия, вдоль которой движется частица.

Путь – длина траектории.

Вектор перемещения – отрезок, поведенный из начального положения тела в конечное.

Скорость – быстрота изменения положения точки в пространстве.

Скорость:

1) Средняя – величина, равная проеденному пути ко времени, в течение которого продолжалось движение.

υ =S/t

2) Мгновенная – величина, равная производной от радиуса-вектора точки по времени.

υ = lim ∆r/∆t, при ∆t→0 или υ=r’

Равноме́рное движе́ние — механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит одинаковое расстояние

4. Прямолинейное равнопеременное движение, его характеристики и их взаимосвязь.

Равнопеременное движение, движение точки, при котором её касательное ускорение w_t (в случае прямолинейного Р. д. всё ускорение w) постоянно. Скорость v, которую имеет точка через t сек после начала движения, и её расстояние s от начального положения, измеренное вдоль дуги траектории, определяются при Р. д. равенствами:

v = v₀ + w_tt, s = v₀t + w_tt²/2,

где v₀ — начальная скорость точки. Когда знаки v и w_t одинаковы, Р. д. является ускоренным, а когда разные — замедленным.

5. Движение материальной точки при движении по криволинейной траектории, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

При неравномерном движении скорость частицы может меняться как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения скорости определяется ускорением, которое равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени.

Ускорение – изменение скорости тела со временем.

a= lim ∆υ/∆t=dυ/dt= υ’ при ∆t→0

a=d/dt*(dr/dt)=d²r/dt²=dr/dt=r’’

Быстрота поворота вектора скорости пропорциональна модулю скорости и кривизны траектории.

Кривизна траектории:

с=lim ∆φ/∆S=∆φ/∆S, при ∆S→0 ,

∆φ – угол между кривой и касательной

R=1/С – радиус кривизны

Тангенциальное ускорение – изменение величины вектора скорости точки со временем.

a_τ=(d|υ|/dt)τ

Нормальное ускорение-изменение направления вектора скорости материальной точки со временем.

a_n=a-a_τ=(υ²/R)*n, где n-вектор нормали, перпендикулярный вектору τ, т.е(n, τ)=0, τ-единичный вектор направленный параллельно вектору скорости

R- радиус кривизны, где определяется скорость движения или радиус окружности касательной в данной точке к искривленной траектории движения.

6. Прямая и обратная задача кинематики. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Абсолютно твердое тело - тело деформациями которого можно пренебречь в данной задаче.

Поступательное движение – движение при котором любая прямая, жестко связанная с телом остается при своём движение параллельно самой себе.

При поступательном движении вектора r₁₂=const. Отсюда r₂=r₁+r₁₂, отсюда r₂=r₁, отсюда υ₂=υ₁, а₁=а₂

Следовательно, для описания поступательного движения твердого тела достаточно знать, как движется одна из его точек.

Вращательное движение – движение тела, при котором все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружности перпендикулярны оси вращения.

7. Кинематические характеристики вращательного движения, связь между угловыми и линейными характеристиками движения материальной точки.

Угловая скорость – это вектор ω, численно равный первой производной от угла поворота по времени, и направленный вдоль оси вращения в направлении dφ (ω и dφ всегда направлены в одну сторону).

ω=lim ∆φ/∆t=dφ /dt при ∆t→0

Угловая скорость направлена вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Как и угол поворота ∆φ, она является псевдовектором

При неравномерном вращении вектор угловой скорости может менять как свою величину, так и свое направление за счет поворота оси вращения.

Угловое ускорение – это вектор ε, второй производной от угла поворота по времени.

ε=lim ∆ω/∆t=dω/dt при ∆t→0

Угловое ускорение тоже является пседовектором, его размерность. Если e >0, то вектор направлен в ту же сторону, куда направлен и вектор. Если e < 0, то эти вектора направлены навстречу друг другу.

Связь между угловой и линейной скоростями.

Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол Δφ. Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, пройдет путь Δs = RΔφ. Поэтому модуль ее линейной скорости равен.

8. Механика Ньютона, его законы. Понятие об инерциальных системах отсчета.

Первый закон Ньютона - постулат существования инерциальной системы отсчета.

Вообще говоря, тел не подверженных влиянию других тел, в природе в принципе не существует, поскольку все тела притягивают друг друга гравитационными силами. Но в ряде случаев влиянием этих сил можно пренебречь.

В частности, система отсчета, связанная с Солнцем, с высокой степенью точности может считаться инерциальной. Данная система называется гелиоцентрической системой (гелиос по греч. – Солнце).

Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает существование инерциальных систем и формулируется следующим образом:

всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не изменит это состояние.

Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно, также является инерциальной. Поэтому существует бесконечное множество инерциальных систем.

Итак, первый закон Ньютона говорит, что лишь внешнее воздействие может изменить скорость тела и сообщить ему ускорение. Всякое тело как бы “противится” изменению своего состояния движения. Это свойство называют “инертностью”.

Понятие силы и инертной массы. Импульс. Второй закон Ньютона.

Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Масса тела - мера инертности тела, то есть его количественная характеристика.

Масса обладает свойством аддитивности. Это значит, что масса составного тела равна сумме масс отдельных его частей. Данное свойство справедливо лишь в рамках классической механики. В релятивистской механике аддитивность массы не имеет места.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона является основным законом динамики. Он говорит о том, как меняется механическое движение тела под действием приложенной к нему силы. Различные опыты показывают, что:

ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе.

a=F/m(1)

Второй закон Ньютона, как и первый закон, справедлив только в инерциальных системах отсчета.

В классической механике считается, что масса тела не зависит от его движения, поэтому уравнение 1 можно переписать в виде

где p=mυ - импульс тела.

Единицей измерения силы является ньютон, равный силе, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

Третий закон Ньютона.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если одно тело действует на другое тело с некоторой силой, то и другое тело в свою очередь тоже действует на первое тело с некоторой силой.(третий закон Ньютона) Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

F₁₂=-F₂₁

9. Импульс произвольной системы тел. Центр масс системы.

Центром инерции, или центром масс, системы материальных точек называют такую точку С (рис. 3.2), радиус-вектор которой

 

 (3.5.1)

 

где   – общая масса системы, n – число точек системы.         При этом не надо путать центр масс с центром тяжести системы – с точкой приложения равнодействующей сил тяжести всех тел системы.         Центр тяжести совпадает с центром масс (центром инерции), если g (ускорение силы тяжести) для всех тел системы одинаково (когда размеры системы гораздо меньше размеров Земли).

       Скорость центра инерции системы равна:

       Здесь

 

 (3.5.2)

 

- импульс системы тел,   – скорость i-го тела системы.         Так как   , то импульс системы тел можно определить по формуле

 

 (3.5.3)

 

– импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра инерции.

10. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

 Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел, – внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы называют внутренними силами.         Результирующая всех внутренних сил, действующих на i-е тело:

где  k ≠ i  – т.к. i-я точка не может действовать сама на себя.         Обозначим   – результирующая всех внешних сил, приложенных к i-ой точке системы.         По второму закону Ньютона можно записать систему уравнений:

    ...................................................................... 

       Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы   и  :

       По третьему закону Ньютона,  , поэтому все выражения в скобках в правой части уравнения равны нулю. Тогда остаётся:

       Назовем   – главным вектором всех внешних сил, тогда

   (3.6.1)  

       Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.         Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел.         Так как импульс системы  , то

   (3.6.2)  

       Отсюда можно по-другому записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел:

   (3.6.3)  

здесь   – ускорение центра инерции.

       Центр механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

       На основании третьего закона Ньютона силы, действующие на тела системы со стороны других тел системы (внутренние силы), взаимно компенсируют друг друга. Остаются только внешние силы.

       В общем случае движение тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью   и вращательного вокруг центра инерции.

11. Закон сохранения импульса (количества движения).

ЗСИ: полный импульс замкнутой системы от времени не зависит, он сохраняет свое значение и направление.

Полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов, составляющих ее частиц.

(i = 1,…,N)

На каждую частицу действуют внутренние силы со стороны других частиц

Сложим эти уравнения и объединим силы от пар частиц

По третьему закону Ньютона F_ij=-F_ji, поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю и получаем:

12. Виды и категории сил в природе. Сила тяжести и вес тела

\

дно из простейших определений силы: влияние одного тела (или поля) на другое, вызывающее ускорение, это сила.         Однако спор вокруг определения силы не закончен до сих пор. Это обусловлено трудностью объединения в одном определении сил, различных по своей природе и характеру проявления. В настоящее время различают четыре типа сил или взаимодействий:

 гравитационные;

 электромагнитные;

 сильные (ответственные за связь частиц в ядрах);

 слабые (ответственные за распад частиц).

       Гравитационные и электромагнитные силы нельзя свести к другим, более простым силам, поэтому их называют фундаментальными.         Законы фундаментальных сил просты и выражаются точными формулами. Для примера можно привести формулу гравитационной силы взаимодействия двух материальных точек, имеющих массы m₁ и m₂:

   (3.4.1)  

где r – расстояние между точками, γ – гравитационная постоянная.         В качестве второго примера можно привести формулу для определения силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂:

   (3.4.2)  

где k₀ – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.         Как видно, формулы для фундаментальных сил являются простыми и точными. Для других сил, например для упругих сил и сил трения, можно получить лишь приближенные, эмпирические формулы.

СИЛА ТЯЖЕСТИ, сила P, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, и определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной силы инерции Q, учитывающей эффект суточного вращения Земли. Направление силы тяжести - вертикаль в данной точке земной поверхности. Аналогично определяется сила тяжести на любом небесном теле. Значение силы тяжести зависит от географической широты положения тела; например, на Земле сила тяжести на полюсе и на экваторе отличаются на 0,5% (на Луне значения силы тяжести примерно в 6 раз меньше, чем на Земле; смотри Ускорение свободного падения).

СИЛА ТЯЖЕСТИ, сила P, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, и определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной силы инерции Q, учитывающей эффект суточного вращения Земли. Направление силы тяжести - вертикаль в данной точке земной поверхности. Аналогично определяется сила тяжести на любом небесном теле. Значение силы тяжести зависит от географической широты положения тела; например, на Земле сила тяжести на полюсе и на экваторе отличаются на 0,5% (на Луне значения силы тяжести примерно в 6 раз меньше, чем на Земле; смотри Ускорение свободного падения).

13. Упругие силы. Деформация. Закон Гука.

Электромагнитные силы в механике проявляют себя как упругие силы и силы трения.

       Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменение размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил восстанавливаются прежние форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Деформация имеет упругий характер в случае, если внешняя сила не превосходит определенного значения, называемого пределом упругости.

При превышении этого предела деформация становится пластичной, или неупругой, т.е. первоначальные размеры и форма тела полностью не восстанавливаются.

       Рассмотрим упругие деформации. В деформированном теле (рис. 4.2) возникают упругие силы, уравновешивающие внешние силы. Под действием внешней силы –  F_вн  пружина получает удлинение  x, в результате в ней возникает упругая сила –  F_упр, уравновешивающая  F_вн.

       Упругие силы возникают во всей деформированной пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой упругости  F_упр.

       Удлинение пружины пропорционально внешней силе и определяется законом Гука:

  (4.3.1)  

k  – жесткость пружины. Видно, что чем больше  k, тем меньшее удлинение получит пружина под действием данной силы.

Деформация (от лат. deformatio — искажение), изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещением. Д. представляет собой результат изменения междуатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно Д. сопровождается изменением величин междуатомных сил, мерой которого является упругое напряжение.

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёнымРобертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke)^[1]. Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

14. Закон Гука для стержня. Диаграмма растяжения

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь   — сила, которой растягивают (сжимают) стержень,   — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а   — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения   и длины  ) явно, записав коэффициент упругости как

Величина   называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.

Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).

Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.

15. Силы трения. Силы инерции

Силами трения называют силы, возникающие при соприкосновении поверх-

ностей двух тел или частей одного тела и препятствующие их взаимному пере-

мещению. Они приложены к телам (или к их частям) вдоль поверхности сопри-

косновения и всегда направлены в сторону, противоположную относительной

скорости движения.

Силы трения отличаются от рассматриваемых в механике сил всемирного

тяготения и упругих сил тем, что эти силы зависят не только от конфигурации

тел, т.е. от их взаимного расположения, но также еще от относительных скоро-

стей тел, между которыми они действуют. Отметим, что силы трения зависят от

многих факторов, которыми сопровождается движение тел при наличии трения.

В связи с этим описание сил трения возможно лишь при помощи эмпирически

найденных приближенных законов, которые часто являются довольно грубыми.

ила инерции (также инерционная сила) — термин, широко применяемый в различных значениях в точных науках, а также, как метафора, в философии, истории, публицистике и художественной литературе.

В точных науках сила инерции обычно представляет собой понятие, привлекаемое в целях удобства при рассмотрении движения материальных тел в неинерциальной системе отсчёта^[1]. Частными случаями такой силы инерции являются центробежная сила и сила Кориолиса. Кроме того, силу инерции применяют для формальной возможности записывать уравнения динамики как более простые уравнения статики (кинетостатика, основанная на принципе Д’Аламбера)^[2].

Вне контекста физики или математики термин «сила инерции» обычно означает некоторое свойство рассматриваемого явления, которое затрудняет изменения и, тем самым, обеспечивает поддержание status quo. В этом употреблении смысл термина зачастую никак не связан с физическим перемещением (изменением положения в пространстве) и понятием силы^[3]. За исключением этого параграфа, статья посвящена значениям термина «сила инерции» в точных науках.

16. Работа и энергия. Потенциальная, кинетическая и полная механическая энергия. Связь между потенциальной энергией и силой

Эне́ргия (др.-греч. ἐνέργεια — «действие, деятельность, сила, мощь») — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется во времени. Это утверждение носит название закона сохранения энергии. Понятие введено Аристотелем в трактате «Физика».

Виды энергии

Механика различает потенциальную энергию (или, в более общем случае, энергию взаимодействия тел или их частей между собой или с внешними полями) и кинетическую энергию (энергия движения). Их сумма называется полной механической энергией.

Энергией обладают все виды полей. По этому признаку различают: электромагнитную (разделяемую иногда на электрическую и магнитную энергии),гравитационную и ядерную энергии (также может быть разделена на энергию слабого и сильного взаимодействий).

Термодинамика рассматривает внутреннюю энергию и иные термодинамические потенциалы.

В химии рассматриваются такие величины, как энергия связи и энтальпия, имеющие размерность энергии, отнесённой к количеству вещества. См. также:химический потенциал.

Энергия взрыва иногда измеряется в тротиловом эквиваленте.

Кинетическая

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергиюпоступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ — Джоуль. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Потенциальная

Потенциальная энергия   — скалярная физическая величина, характеризует запас энергии некоего тела (или материальной точки), находящегося в потенциальном силовом поле, который идет на приобретение (изменение) кинетической энергии тела за счет работы сил поля. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы.^[2]

Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль. Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

17 Закон сохранения механической энергии. Условия равновесия механической системы

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципомсохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первое начало термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

В термодинамике исторически закон сохранения формулируется в виде первого принципа термодинамики:

Изменение внутренней энергии термодинамической системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил над системой иколичества теплоты, переданного системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход

или альтернативно^[6]:

Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил

В математической формулировке это может быть выражено следующим образом:

,

где введены обозначения   — количество теплоты, полученное системой,   — изменение внутренней энергии системы,   — работа, совершённая системой.

Закон сохранения энергии, в частности, утверждает, что не существует вечных двигателей первого рода, то есть невозможны такие процессы, единственным результатом которых было бы производство работы без каких-либо изменений в других телах^[6].

Условия равновесия механических систем.

Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

(1)

где Q_j  - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;

s  - число обобщенных координат в механической системе.

Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.

Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:

                     (2)

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.

18 Консервативные силы. Работа консервативных сил.