1.3.4 Метод золотого сечения
Д
ля
того чтобы уменьшить отрезок
неопределённости
,
нам необходимо вычислить значение
целевой функции
,
по крайней мере, в двух точках на отрезке
.
В
результате этих двух экспериментов
отрезок неопределённости сузится до
отрезка
или
.
Так как у нас нет никаких оснований для
предпочтения одного из этих вариантов,
то точки
и
должны быть симметричны относительно
середины отрезка
.
В этом случае длины отрезков
и
будут равны. Таким образом, остаётся
вопрос о том, как выбрать точку
.
В методе золотого сечения точка выбирается из соображения, что должно выполняться соотношение:
т.е.
точка
делит отрезок
правилу «золотого сечения», где
– есть «золотое отношение». Точка
определяется как точка симметричная к
относительно середины отрезка.
В результате экспериментов у нас получается отрезок неопределённости , содержащий точку , или отрезок неопределённости , содержащий точку . Оказывается, что остающаяся точка на суженном отрезке неопределённости делит его вновь по правилу «золотого сечения». Следовательно, чтобы, в свою очередь, уменьшить новый отрезок неопределённости, нам не достаёт одного эксперимента, а именно, вычисления целевой функции в точке, симметричной к оставшейся точке относительно середины этого нового отрезка. Всё продемонстрировано на рисунке,
а
)
б
)
где буквы со штрихами обозначают новый отрезок неопределённости.
Вариант а) соответствует случаю, если новым отрезком неопределённости будет , а вариант б) – отрезку .
В
приводимой ниже схеме алгоритма
остающиеся отрезки неопределённости
переименовываются каждый раз как
,
а точки, в которых проводятся эксперименты
на этом отрезке, обозначается через
и
,
причём
.
Кроме того,
и
имеют следующие значения:
и
.
Схема алгоритма
Шаг
1. Задаются
и
.
Вычисляют
.
Шаг
2. а) Если
,
то полагают
и вычисляют
.
б)
Если
,
то полагают
и вычисляют
.
Шаг
3. Если
,
то переходят к шагу 2. Иначе если
,
то полагают
и
если
,
то полагают
и
Закончить поиск.
После каждой
итерации длина отрезка неопределённости
уменьшается в
раз. Так как первая итерация начинается
после двух экспериментов, то после
экспериментов длина отрезка неопределённости
будет
.
1.3.5 Метод чисел Фибоначчи
Этот
метод применяется, когда число
экспериментов
заранее задано. Метод чисел Фибоначчи,
также как и метод золотого сечения
относится к симметричным методам, т.е.
точки, в которых выполняются два
эксперимента, на основе которых происходит
уменьшение отрезка неопределённости,
расположены симметрично относительно
середины отрезка. Вот только выбор точки
происходит на основе других соотношений.
Для этого используются числа Фибоначчи:
,
где
и
.
Точка определяется из соотношения:
т.е.
.
Точка
делит
на две неравные части. Отношение меньшего
отрезка к большему равно
.
Точка
определяется как точка, симметричная
к
относительно
середины отрезка
.
Поэтому
.
При этом будет выполняться условие .
В результате экспериментов в точках и у нас получится отрезок неопределённости , содержащий точку , или отрезок неопределённости , содержащий точку . Остающаяся точка делит новый отрезок неопределённости на две неравные части в отношении:
.
То
есть в методе Фибоначчи остающаяся
точка делит отрезок на две неравные
части в пропорциях определяемых числами
Фибоначчи. Так на к–ом
шаге это отношение равно
а длины отрезков равны:
и
.
Всё это показано на рисунке:
а
)
б
)
Для того чтобы в свою очередь уменьшить получившийся отрезок неопределённости, надо определить симметричную точку относительно середины отрезка и произвести эксперимент в ней. Этот процесс продолжается, пока не будет проведено экспериментов.
Схема алгоритма
Шаг
1. Задаются
Вычисляются числа Фибоначчи
.
Определяется:
Шаг 2. а) Если , то полагают и вычисляют
.
б) Если , то полагают и вычисляют
.
Повторить
шаг 2 (
)
раза.
Шаг
3. Если
,
то полагают
и
.
Если
,
то полагают
и
.
Закончить поиск.
Длина
отрезка неопределённости в методе
Фибоначчи
.