2.1. Формулировка теоремы, овладения ее содержанием, структурой, назначением

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b²

Краткая запись на доске:

Учитель предлагает сформулировать теорему в условной форме:

Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

2.2. Формирование ориентировочной схемы доказательства

 Организация поиска доказательства.

-Ребята, как в квадрате со стороной а найти диагональ d?

Учитель объясняет, что для этого нужно найти соотношение между а и d. Напомнив формулу площади квадрата S = a², учитель с учениками устанавливает, что площадь треугольника равна а². Он обращает внимание на сл. рисунок объясняя, что на нем изображен квадрат составленный из 4-х треугольников, где например AD=d,а AO=a . Вместе с учениками выясняет, что площадь этого квадрата а ²∙4=2а²из чего следует, что d²=2a² или d²= а²+ a². Учитель обращает внимание, что треугольник прямоугольный и равнобедренный.

 Составление плана доказательства.

Докажем теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника. Существует несколько способов, мы будем использовать метод доказательства через подобные треугольники:

1)изобразим прямоугольный треугольник ABC и проведем высоту CH

2)Устанавливаем подобность между треугольниками ABC, ACH, CBH и используем полученные соотношения.

2.3. Доказательство теоремы

1)Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H.

2)Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

ІІІ. Этап закрепления

Условная форма: Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

Обратное утверждение: Если в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – прямоугольный.

Утверждение истинно.

Противоположное утверждение: Если треугольник не прямоугольный, то квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов.

Утверждение истинно.

Противоположное обратному: Если в треугольнике квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник – не прямоугольный.

Утверждение истинно.

Базовый уровень:

Задача: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

Задача: Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет равны 15 см и 9 см.

Задача: Найдите диагонали прямоугольного треугольника со сторонами 5 см и 12 см.

Задача: Основание равнобедренного треугольника равно 60 см, а высота, опущенная на боковую сторону – 72 см. Найдите периметр треугольника.

Задача: Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Основной уровень:

Задача: Найдите высоту трапеции с основаниями 4 дм и 14 дм и боковыми сторонами 6 дм и 8 дм.

Задача: Катеты прямоугольного треугольника относятся как 20 к 21 ,а разность между радиусами описанной и вписанной окружности равна 17.найдите гипотенузу треугольника.

Задача  Докажите, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см является прямоугольным треугольником.

Задача Высота прямоугольного треугольника равна 3   и делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 6 см больше второго. Найдите катеты треугольника.

Задача Основание прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см. Один из углов трапеции равен 120˚. Найдите диагонали трапеции.