Приближённое исследование точности системы в установившемся режиме

Определение установившейся ошибки может быть произведено разными способами.

Первый способ, наиболее простой, позволяет оценить ошибку системы без сложных вычислений. Он основан на использовании передаточных функций системы по ошибке и теоремы о конечном значении функции.

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы в виде . На вход системы поступают задающее воздействие и возмущение f(t). Для определения ошибки в замкнутой системе необходимо найти передаточную функцию по ошибке для соответствующего воздействия:

.

Определим точность системы при отработке задающего воздействия, для чего используем теорему о конечном значении, т.е. .

Второй способ применяется для случая детерминированных медленно меняющихся воздействий.

Разложим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возрастающим степеням комплексной переменной в ряд, сходящийся при малых s

Изображение ошибки будет иметь вид:

.

Если передаточная функция является дробно-рациональной, то разложение в ряд можно осуществить простым делением числителя на знаменатель, располагая члены полиномов в порядке возрастания степеней.

Если воздействие дифференцируемо на всем интервале от 0 до , то ошибка системы может быть представлена в виде ряда

или

Коэффициенты называются коэффициентами ошибок системы.

Коэффициенты ошибок могут быть также определены по формулам разложения передаточной функции по ошибке в ряд Тейлора:

.

- коэффициент статической или позиционной ошибки, – коэффициент скоростной ошибки, – коэффициент ошибки от ускорения.

В статических системах все коэффициенты ошибок не равны нулю.

В системах с астатизмом 1 порядка – .

.

.

Коэффициенты ошибок позволяют определить как будет изменяться ошибка системы при подаче на вход различных видов воздействий, а также зависимость установившейся ошибки от структуры системы и ее параметров.

Практическая часть.

Для заданной системы провести анализ качества процессов управления, если

.

С учётом заданных параметров передаточная функция прямой цепи:

.

Передаточная функция замкнутой системы .

Рассмотрим вариант, если .

Поведем анализ качества заданной системы.

1. Анализ устойчивости.

1.1. необходимое условие устойчивости.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы

.

Коэффициенты характеристического полинома вещественные и положительные, необходимое условие устойчивости выполняется.

1.2. оценка устойчивости по кривой переходного процесса.

Привести график переходной характеристики из домашнего задания № 1.

Определим конечное значение переходной функции (вычисляется только для устойчивых систем).

Если система устойчива, то переходная функция системы должна стремиться к установившемуся значению, т.е

.

h(t)=0.8-0.407exp(-10.994t)-0.393exp(-1.5028t)Сos9.4179t-0.5378exp(-1.5028t) Sin9.4179t.

1.3. оценка устойчивости по корням характеристического уравнения.

Корни характеристического уравнения .

; ; .

Действительные части корней являются отрицательными, следовательно, корни располагаются в левой полуплоскости и заданная система устойчива.

1.4. по критерию устойчивости Гурвица.

Составим определители Гурвица для системы третьего порядка. Номер определителя определяется номером коэффициента, для которого составляется определитель.

Критерий Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители данной системы были положительными при , т.е. .

.

Условие устойчивости для системы третьего порядка: .

. – система устойчива.

Определим значение критического коэффициента устойчивости:

.

1.5. по критерию устойчивости Михайлова.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы

.

Выделим действительную и мнимую части полинома :

;

Построим кривую Михайлова.

Рис. 8. График кривой Михайлова

(При построении кривой Михайлова брать диапазон частот чуть больший, чем последняя частота )

Кривая Михайлова, начинаясь на вещественной положительной полуоси, огибает начало координат в направлении против часовой стрелки и проходит последовательно три квадранта, следовательно, система устойчива.

Проверим устойчивость по правилу чередования частот:

Определим точки пересечения с вещественной и мнимой осями

.

Система устойчива, т.к. выполняется условие чередования частот.

1.6. по критерию устойчивости Найквиста.

Оценка устойчивости проводится по АФЧХ разомкнутой системы.

Для построения характеристики выделим действительную и мнимую частотные характеристики

На полученном графике необходимо отметить критическую точку (-1, j0), начало функции при , число правых корней .

Рис.9 АФЧХ разомкнутой системы.

Замечание. Если АФЧХ разомкнутой системы начинается в бесконечности, то при построении характеристики интервал частот надо выбирать не с нуля.

По графику АФЧХ разомкнутой системы можно сделать заключение: годограф при изменении частоты не охватывает критическую точку (-1, j0), т.к. система в разомкнутом состоянии устойчива, то замкнутая система устойчива.

Проверим правильность построения функции по контрольным точкам пересечения с осями: .

Точка пересечения годографа с вещественной осью равна -0.52, что меньше единицы. Полученные расчётные данные совпадают с графическими.

2. Анализ качества переходного процесса

2.1. Построение переходной характеристики замкнутой системы и определение по ней прямых показателей качества.

Рис. 10. Переходная функция замкнутой системы.

Для определения по кривой переходного процесса времени управления на графике строятся линии, соответствующие значениям и . Время, по истечении которого кривая переходного процесса входит в 5% трубку, является временем управления .

1. По графику время управления ;

Для определения по кривой переходного процесса перерегулирования системы необходимо на графике определить установившееся значение и максимальное значение функции и рассчитать перерегулирование по формуле.

2.

Перерегулирование: ;

3. Период колебаний по кривой переходного процесса - .

4. Частота колебаний - .

5. Время нарастания - .

6. Время достижения первого максимума - .

7. Число колебаний: n=3;

2.2 Корневые показатели качества:

Корни:

Степень устойчивости: .

Степень устойчивости позволяет оценить инерционные свойства системы, т.е. время переходного процесса

.

Степень колебательности: ; .

Степень колебательности позволяет оценить колебательные свойства системы, т.е. перерегулирование

.

Период колебаний - , число колебаний - .

2.2. Анализ заданной системы с использованием частотных показателей качества, для этого

• построить график амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы . По графику определить частотные показатели качества (см. лабораторную работу, эксперимент 2);

• оценить быстродействие и колебательные свойства системы по частотным показателям качества;

• построить график логарифмической амплитудно-частотной характеристики ЛАЧХ разомкнутой системы по выходному сигналу, логарифмической фазочастотной характеристики ЛФЧХ.

Определить время управления и колебательность замкнутой системы, запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Частотные показатели определяются по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы.

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы

– начальное значение амплитудной характеристики;

– максимальное значение амплитудной характеристики;

=2,4594 – показатель колебательности;

Показатель колебательности М характеризует склонность системы к колебаниям. При М 1 переходный процесс не колебательный, при 1,1 М 1,5 переходный процесс соответствует хорошо демпфированной системе ( ), при М 1,5 переходный процесс имеет ярко выраженный колебательный характер ( ).

- резонансная частота;

- частота среза;

Полоса пропускания системы от 0 до .

Определение динамических свойств системы:

Инерционные свойства системы можно оценить по частоте среза, выбор числа колебаний за время переходного периода определяется величиной показателя колебательности . Чем больше показатель, тем выше колебательные свойства системы, поэтому в данном случае можно взять число колебаний в пределах от 3 до 4.

• 

Величина показателя колебательности предполагает перерегулирование в пределах 50-60%.

Оценка точности в установившемся режиме: , это свидетельствует о том, что коэффициенты передаточной функции и не равны, ошибка системы по задающему воздействию равна .

Определение запасов устойчивости по фазе и амплитуде можно провести по логарифмическим амплитудно-частотной и фазочастотным характеристикам.

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

3. Анализ точности в установившемся режиме при отработке воздействий

Для анализа точности системы необходимо определить передаточные функции системы по воздействиям, приходящим на систему. Количественно точность определяется величиной ошибки.

Определим по правилам быстрого вычисления (стр.13-14 ) передаточную функцию заданной системы по ошибке по входному воздействию. Для этого воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы

Точность системы в установившемся режиме при отработке типовых воздействий определяется величиной ошибки по соответствующему воздействию. Для вычисления ошибки необходимо определить передаточные функции по ошибке и числовые показатели качества в установившемся режиме – коэффициенты ошибок. Для заданной системы определим передаточные функции по ошибке по входному воздействию и возмущению с учётом формул быстрого вычисления.

.

.

Определим коэффициенты и :

;

Вычисление коэффициентов ошибок путём деления полинома числителя на полином знаменателя.

Коэффициенты ошибок передаточной функции замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию.

; ;

Коэффициенты ошибок передаточной функции замкнутой системы по ошибке по возмущению.

; ; .

Графики функций и , построенные с использованием стандартной функции пакета Matlab «step».

Определить величину ошибки системы при заданных преподавателем входных сигналах.