1. Основные сведения из теории

Частотный критерий В.М. Попова сформулирован для нелинейных систем с устойчивой линейной частью и позволяет исследовать устойчивость нулевого равновесного состояния в целом, но не для одной фиксированной характеристики нелинейного элемента, а для некоторого семейства этих характеристик, принадлежащих к какому-либо классу [10,12. Определенное таким образом состояние равновесия называют абсолютно устойчивым.

Наиболее часто для систем со структурной схемой, приведенной на рис.1, рассматривают нелинейные характеристики, заключенные в секторе [0, ]. Обратимся к структуре системы с нелинейностью, содержащей зону нечувствительности, и нейтрально устойчивой [5] линейной частью с передаточной функцией (рис. 1, 2).

При наличии одного нулевого полюса положениями равновесия в системе являются любые точки внутри отрезка покоя . Для этого случая критерий В.М. Попова сохраняет силу при следующей модификации, предложенной А.Х. Гелигом [9,10].

Пусть все полюсы лежат слева, за исключением одного, равного нулю, причем .

К

роме того, пусть нелинейная функция определена следующим образом (рис. 2):

а вне этого отрезка лежит внутри заштрихованных секторов, то есть

(1)

причем выполнены условия:

(2)

Тогда, если найдется вещественное неотрицательное число такое, что не является полюсом , и при всех выполнено частотное неравенство

(3)

то при любых ограниченных начальных условиях процесс остается огра-ниченным при , а при стремится к одной из точек отрезка покоя . В этом случае говорят, что отрезок покоя точечно устойчив в целом.

Частотное неравенство (3) совпадает с достаточным условием устойчивости, составляющим суть критерия В.М. Попова, и имеет ту же геометрическую интерпретацию с точностью до того, что допускается проведение прямой, проходящей через точку и касающейся годографа модифицированной частотной характеристики [5,12].

Как видно из приведенной формулировки, наклон прямой не должен быть отрицательным. Кроме того, условия (1) не допускают, чтобы касалась оси абсцисс вне отрезка покоя, а условия (2) равносильны требованию «неплотного прилегания» к лучам.

Для того чтобы проверить выполнение критерия Гелига, следует построить годограф модифицированной частотной характеристики линейной части

где

,

и попытаться провести прямую, имеющую неотрицательный коэффициент наклона проходящую через точку и оставляющую годограф справа [5]. Если это удается, то отрезок покоя точечно устойчив в целом.

В лабораторной работе исследуется поведение следящей системы, в которой датчик рассогласования имеет зону нечувствительности, а усилитель –ограниченную зону линейности, то есть насыщение. Эти две нелинейности можно описать одной нелинейной зависимостью (рис.3). При и приходим к линейной модели, если остальные элементы следящей системы описываются линейным соотношениями.