Задача о "расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t₁,t₂,t₃)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H + Q^-1T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (0, t₂, t₃), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 8t₂ + 2t₃ (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (3)

причем по смыслу задачи t₂ 0, t₃ 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

(5)

из условия (3) следует t2148/3, t3158/3 (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2. Программа расшивки имеет вид

t₁=0, t₂=14, t₃=0 и прирост прибыли составит 112.

Сводка результатов приведена в таблицe 2.

сj	36	32	10	13	b	x4+i	yi	ti
	2	3	4	1	103	5	0	0
aij	4	2	0	2	148	0	8	14
	2	8	7	0	158	0	2	0
xj	31	12	0	0	1500			112
j	0	0	4	3

Транспортная задача линейного программирования

Однородный продукт, сосредоточенный в 3 пунктах производства (хранения) в количествах 40; 60; 70 единиц, необходимо распределить между 4 пунктами потребления, которым необходимо соответственно 36; 32; 40; 53 единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из пункта отправления в пункт назначения известна для всех маршрутов и равна С = . Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов.

Общий объем производства а_i =40+60+70=170 больше, чем требуется всем потребителям b_i = 36+32 +40 +53 =161, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-161 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.

Потребление	b1 =36	b2 =32	b3 =40	b4 =53	b5 =9
Производство
а1 =40	36	4				p1 =0
a2 =60		28	32			p2 =
a3 =70	*		8	53	9	p3 =
	q1 =	q2 =	q3 =	q4 =	q5 =

Общая стоимость всех перевозок для первого базисного допустимого решения:

L= 36* 2 + 4 *3 + 28 *2 + 32 + 8* 7+ 53 =281

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) одно уравнение линейно зависит от остальных. Положим, что р₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0+q₁ -2 = 0, q₁ = 2

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ -3 = 0, q₂ = 3

₂₂ = 0, p₂ + q₂ - c₂₂ = 0, р₂ +3-2 = 0, р₂ = -1

и т.д., получим: q₃=2, p₃=5, q₄= -4, q₅= -5.

Затем по формуле (6) вычисляем оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₅ - c₂₁ = -1+2-4 = -3

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 5+2-2 = 5

₃₂ = 1; ₁₃ = -2; ₁₄ = -5; ₂₄ = 0; ₁₅ = -5; ₂₅ = -6.

Находим наибольшую положительную оценку max ( ) = 5 =

Для найденной свободной клетки 31 строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Это будет 31-11-12-22-23-33. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

36	4			36-	4+			28	12
	28	32			28-	32+			20	40
		8				8-		8

= 8

Получаем второе базисное допустимое решение:

bj	b1 =36	b2 =32	b3 =40	b4 =53	b5=9
ai
а1 =40	28	12		*		p1 =0
a2 =60		20	40			p2 = -1
a3 =70	8			53	9	p3 =0
	q1 =2	q2 = 3	q3 = 2	q4 = 1	q5=0

Находим новые потенциалы, новые оценки.

 ₁₃ = -2; ₁₄ = 0; ₁₅ = 0; ₂₁ = -3; ₂₄ = -2; ₂₅ = -1; ₃₂ = -4; ₃₃ = -5,

т.е. все _ij  0 i = 1,m; j = 1,n

Общая стоимость всех перевозок для второго базисного допустимого решения:

L= 28* 2 + 12 *3 + 20 *2 + 40 + 8* 2+ 53 =241 – минимальная стоимость.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1, где, например, число 50 означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 50 тыс. руб. Таблица I

Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁( - x₂) = f₁(- x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функции F₃(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700.

Таблица 2

	 - x2	0 100 200 300 400 500 600 700
x2	F1( - x2) f2(x2)	0 15 24 30 36 40 43 45
0	0	0 15 24 30 36 40 43 45
100	18	18* 33* 42* 48 54 58 61
200	26	26 41 50* 56 62 66
300	34	34 49 58* 64* 70*
400	39	39 54 63 69
500	42	42 57 66
600	44	44 59
700	46	46

Таблица 3

	0 100 200 300 400 500 600 700
F2()	0 18 33 42 50 58 64 70
 ()	0 0 100 100 200 300 300 300

Т аблица 4

	 - x3	0 100 200 300 400 500 600 700
x3	F2( - x3) f3(x3)	0 18 33 42 50 58 64 70
0	0	0 18* 33 42 50 58 64 70
100	16	16 34* 49* 58 66 74 80
200	27	27 45 60* 69 77 85
300	37	37 55 70* 79* 87*
400	44	44 62 77 86
500	48	48 66 81
600	50	50 68
700	56	56

Таблица 5

	0 100 200 300 400 500 600 700
F3()	0 18 34 49 60 70 79 87
()	0 0 100 100 200 300 300 300

Таблица 6

	 - x4	0 100 200 300 400 500 600 700
x4	F3( - x4) f4(x4)	0 18 34 49 60 70 79 87
0	0	87
100	10	89*
200	17	87
300	23	83
400	29	78
500	34	68
600	38	56
700	41	41 .

Наибольшее число на этой диагонали: Z_max = 89 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено х^*₄ = ₄ (700) = 100 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено x^*₃ = ₃ (700-x^*₄) = ₃ (600) = 300 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим x*₂ = ₂ (700 - x*₄ - x*₃) = ₂ (300) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается x*₁ = 700 - x*₄ - x*₃ - x*₂ = 200 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

x*₁ =200; x*₂ =100; x*₃ = 300; x*₄ = 100.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воможный прирост прибыли 89 тыс. руб.

выполнение равенства: f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = z _max

24+18+37+10=89