1.2 Метод золотого сечения
Метод золотого сечения. Рассмотрим такое симметричное расположение точек x1 и х2 на отрезке [а; b], при котором одна из них становится пробной точкой и на новом отрезке, полученном после исключения части исходного отрезка. Использование таких точек позволяет на каждой итерации метода исключения отрезков, кроме первой, ограничиться определением только одного значения f (x), так как другое значение уже найдено на одной из предыдущих итераций.
Найдем точки x1 и х2 , обладающие указанным свойством.
Рассмотрим сначала отрезок [0; 1] и для определенности предположим, что при его уменьшении исключается правая часть этого отрезка. Пусть х2 = t, тогда симметрично расположенная точка х1 = 1–t (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Определение пробных точек в методе золотого сечения
Пробная точка х1 отрезка [0; 1] перейдет в пробную точку х2¢ = 1–t нового отрезка [0; т]. Чтобы точки х2 = t, и х2¢ = 1–t делили отрезки [0; 1] и [0; t] в одном и том же отношении, должно выполняться равенство
или
,
откуда находим положительное значение
…
Таким образом,
х1
= 1–t
=
,
.
Для произвольного отрезка [а; b] выражения для пробных точек примут вид
;
В таблице 2 приведено решение задания по варианту.
Опишем алгоритм метода золотого сечения.
Шаг
1. Найти х1 и х2 по формулам (2.15). Вычислить
f (x1) и f (x2). Положить
,
.
Шаг 2. Проверка на окончание поиска: если en > e, то перейти к шагу 3, иначе – к шагу 4.
Шаг 3. Переход к новому отрезку и новым пробным точкам. Если f (x1) £ f (x2) то положить b=x2 , x2=x1 , f (x2) £ f (x1), x1=b–t(b–a) и вычислить f (x1), иначе – положить a=x1, x1= x2 , f (x1) = f (x2), x2=b+t(b–a) и вычислить f (x2). Положить en = ten и перейти к шагу 2.
Шаг 4. Окончание поиска: положить
,
.
Результаты вычислений на остальных итерациях представлены в таблице 2 .
Таблица 2 - Метод золотого сечения
№ шага |
a |
b |
x1 |
x2 |
F(x1) |
F(x2) |
|
1 |
2.7 |
3.9 |
3.1584 |
3.4416 |
-5.7694 |
1.79829 |
0.370820393 |
2 |
2.7 |
3.4416 |
2.98329 |
3.1583 |
-3.1542 |
-5.7698 |
0.229179607 |
3 |
2.9833 |
3.4416 |
3.158365 |
3.26652 |
-5.76957 |
-4.22659 |
|
4 |
2.98329 |
3.266546 |
3.09148 |
3.15833 |
-5.58444 |
-5.769704 |
|
5 |
3.09148 |
3.26652 |
3.15835 |
3.199661 |
-5.76962 |
-5.43999 |
|
6 |
3.09148 |
3.19966 |
3.13281 |
3.15834 |
-5.8039 |
-5.76967 |
|
7 |
3.09148 |
3.15834 |
3.11702 |
3.132801 |
-5.7600 |
-580399 |
|
8 |
3.11702 |
3.15834 |
3.13281 |
3.14256 |
-5.8039 |
-5.80627 |
|
9 |
3.13281 |
3.15834 |
3.14256 |
3.14859 |
-5.8063 |
-5.7982 |
|
10 |
3.13281 |
3.14859 |
3.1388 |
3.14856 |
-5.08076 |
-5.8063 |
|
11 |
3.13281 |
3.14256 |
3.13653 |
3.13883 |
-5.8071 |
-5.8076 |
|
12 |
3.13653 |
3.142557 |
3.13883 |
3.140255 |
-5.80764 |
-5.80745 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|a-b|=7.893370498E-3< ε, x*=(a+b)/2=3.1407091
f(x*)=-5.807126299
Сравнив два метода, мы видим, что для данной функции лучше подходит метод дихотомии, т.к. он быстрее приводит к оптимальному решению.