9) Сферические поверхности. Билинейные поверхности. Линейчатые поверхности.

Сферические поверхности

Неявное описание единичной сферы выглядит следующим образом:

Характерные кривые на сферической поверхности могут быть получены с помощью плоскостей, которые ее пересекают. Пересечение единичной сферы и плоскости

( плоскость, параллельная плоскости XOY и проходящая через точку ) дает

, то есть

М

ы получили уравнение

окружности, которая называется широтой

Пересечение сферы с плоскостью

или

дает

окружность, называемую долготой. Часто широтой и долготой называют не окружности, а углы и .

Участок сферической поверхности может быть образован четырьмя границами – это две широты и две долготы.

Параметрическое представление единичной сферической поверхности имеет

вид:

Можно записать векторное уравнение для сферической поверхности:

где - единичные векторы в прямоугольной системе координат;

- вектор положения точки на поверхности.

Поверхность, изображенная на рисунке 6. 2, характеризуется следующим изменением параметров ( углов и ):

Форма граничных кривых может быть описана касательными векторами в начале и в конце каждой кривой, а также векторами кривизны.

Для участка сферической поверхности касательные векторы получаются:

Тогда в граничных точках:

Вектора кривизны описываются смешанными производными

В угловых точках имеем:

Для указания формы и ориентации участка поверхности можно использовать нормаль к поверхности. Нормали задаются векторным смешанным произведением двух касательных векторов. Для сферического участка имеем:

В угловых точках получим следущие вектора нормалей:

Единичная нормаль определяется величиной .Раскрывая матричное выражение для , получим:

То есть

Таким образом

Итак,с помощью сферической поверхности мы проиллюстрировали некоторые наиболее распространенные способы описания поверхностей и их участков:

• аналитическое описание (неявное и параметрическое);

• описание участка с помощью четырех граничных кривых;

• описание участка с помощью касательных векторов и векторов кривизны, а также

• нормали к поверхности.

Рассмотрим теперь примеры более сложных поверхностей. Для этого сделаем ряд предварительных замечаний.

1. Будем использовать параметрическое представление поверхностей.

2. Будем использовать следующее описание:

- векторная функция, описывающая положение точки на поверхности. Любая точка на поверхности может быть получена фиксацией u и w, то есть Q ( u, w). Фиксация одного из параметров даст описание кривой на поверхности;

- векторная функция, описывающая входные данные поверхности (точки, кривые и так далее );

- векторная функция, описывающая конструируемую поверхность, соответствующую входным данным, то есть и совпадают только в заданных точках.

Билинейные поверхности

Это один из простейших видов поверхностей. Предположим, что четыре угловые точки поверхности заданы на плоскости вершинами единичного квадрата Необходимо построить поверхность , на которой любая точка может быть получена путем линейной интерпретации. Получим следующую функцию:

или

или

где

Здесь легко проверить, что и так далее. Точка в центре поверхности получится

Линейчатые поверхности

Л

инейчатые поверхности часто применяют в авиационной и кораблестроительной промышленности. Строятся они следующим образом. Предполагаются, что известны две граничные кривые. Допустим, что это и . Эти кривые могут быть заданы любым из способов, которые мы рассматривали в разделе “ Пространственные кривые”. Линейчатая поверхность в этом случае получается с помощью линейной интерполяции между этими кривыми.

Здесь

Кроме того, края конструируемой поверхности совпадают с заданными кривыми, то есть

Аналогично можно рассмотреть случай, когда известны и :