5) Аффинная и перспективная геометрия.

Аффинная геометрия сохраняет параллельность линий и соотношения между параллельными линиями. Аффинное преобразование является комбинацией линейных преобразований, сопровождаемых переносом изображения. Для аффинного преобразования последний столбец матрицы должен быть равным . Композиция аффинных преобразований также является аффинным преобразованием.

В перспективной геометрии не сохраняется параллельность. Перспективное преобразование имеет место в том случае, когда последний столбец матрицы не нулевой. Перспективными изображениями часто пользуются художники и архитекторы, так как эти изображения позволяют получить картину, близкую к реальности. Однако из-за сложности построения их редко используют конструкторы. Используя однородные координаты и матрицу преобразования одинаково легко можно получать как аффинные, так и перспективные изображения.

Аффинное или перспективное преобразование в сочетании с построением проекции на некоторую плоскость образуют соответствующую (аффинную или перспективную) проекцию.

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью , в точки системы координат размерностью . В машинной графике рассматривают проекции точек трехмерного пространства в двумерное (рисунок 3.6). Проекция трехмерного объекта (совокупности точек) строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами, выходящими из центра проекции. Эти прямые проходят через каждую точку объекта; проекцией являются совокупность точек пересечения проекторов с проекционной плоскостью. При этом всегда проекцией отрезка является отрезок, поэтому достаточно спроецировать лишь граничные точки.

В зависимости от расположения центра проекции, проекция бывает центральной (центр проекции удален от плоскости на конечное расстояние) и параллельной (центр в бесконечности).

Рисунок 3.6.

Параллельная проекция является аффинной, а центральная–перспективной (по виду преобразования).

Аксонометрические проекции

Аксонометрическая проекция получается с помощью преобразования, определитель которого равен нулю. После выполнения преобразования осуществляется параллельное проецирование.

Существуют три вида аксонометрических проекций, различающихся по виду аффинного преобразования – ортогональная, диметрическая и изометрическая. Рассмотрим общую для всех этих видов часть – параллельное проецирование.

Проекция из трехмерного пространства на плоскость может быть получена следующим образом:

то есть

Это преобразование представляет собой композицию двух преобразований: – параллельного проецирования на плоскость

и переноса вдоль оси на величину

Аналогично, проецирование в плоскость или реализуется матрицами

и

соответственно.

Ортогональная аксонометрическая проекция

При ортогональной аксонометрической проекции осуществляется только вращение вокруг какой-либо координатной оси на угол, кратный , или отображение относительно какой-либо координатной плоскости.

Диметрическая проекция

При построении диметрической проекции производится комбинированное вращение, при котором одинаково сокращаются две из трех координатных осей.

Изометрическая проекция

В отличие от диметрической в изометрической проекции ставится условие равного сокращения всех трех координатных осей.

Перспективные преобразования и проекции

Перспективная проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую плоскость наблюдения. Перспективную проекцию можно получить путем выполнения одной из двух последовательностей преобразований:

1. перспективное преобразование в 3-мерном пространстве и параллельное проецирование.

2. аффинные преобразования в 3-мерном пространстве и центральное (перспективное преобразование) проецирование.

Перспективные преобразования (в т.ч. проецирование) отличаются от аффинных наличием ненулевых элементов 4-го столбца матрицы .

Перспективная проекция на плоскость обеспечивается преобразованием

т.е.

При проецировании на плоскость информация о координате теряется. Иногда это неудобно. В этом случае можно выполнить перспективное преобразование, например матрицей

а затем параллельное проецирование.

. Возьмем точку в бесконечности на оси и выполним перспективное преобразование:

Поскольку параллельные линии исходного пространства “сходятся” в бесконечности, то в преобразованном пространстве линии, которые были параллельны оси , будут сходиться в точке . Эту точку называют точкой схода.

Аналогично, перспективное преобразование

будет приводить к точке схода

Преобразования, которые мы сейчас рассмотрели, являются одноточечными (имеют одну точку схода). Их еще называют параллельными перспективными преобразованиями.

Если в 4-м столбце матрицы два элемента ненулевые, то получим двухточечную или угловую перспективу

,

=

Точки схода в данном случае расположены на оси и на оси .

Аналогично, трех точечная или косая перспектива получается

,

Точки схода лежат на всех трех осях: