2) Вращение, отображение, изменение масштаба, произвольная матрица вращения. Композиция преобразований. Вращение

Вращение вокруг начала координат против часовой стрелки на угол реализуется матрицей

На угол –матрицей

На угол –матрицей

Отображение

Отображение определяется поворотом на вокруг оси, лежащей в плоскости .

Отображение относительно оси осуществляется матрицей

Относительно оси –матрицей

Относительно оси –матрицей

Изменение масштаба

Изменение масштаба определяется значением элементов главной диагонали матрицы .

Если элементы главной диагонали матрицы не равны, то происходит искажение формы.

Часто для достижения желаемого результата требуется выполнить последовательность преобразований, например, ряд преобразований, рассмотренных ранее . При этом важно помнить, что операция умножения матриц некоммутативна, то есть играет роль порядок выполнения преобразований.

Рассмотрим пример.

– вращение на

– отображение относительно оси

Некоторая точка преобразуется:

В другом порядке:

Как видим, результаты получились разными.

То же самое можно показать несколько иначе. Вначале получим общую матрицу преобразования для комбинации

,

а затем для комбинации

Видно, что , значит и результаты преобразования будут различны.

Произвольная матрица вращение 2 на 2

Матрица вращения на произвольный угол определяется как

Частные случаи, легко получаются подстановкой значений .

Композиция преобразований на плоскости

последовательность преобразований

может быть реализована как

Произведение матриц часто называют их композицией. Соответственно, преобразования с матрицей называется композицией преобразований с матрицами . Напомним, что здесь важна последовательность умножения матриц.

Один из примеров композиции преобразований с использованием однородных координат–это вращение вокруг произвольной точки (раньше мы рассматривали лишь вращение вокруг начала координат).Вращение вокруг произвольной точки может быть выполнено путем переноса центра вращения в начало координат, поворотом относительно начала координат, а затем переноса точки вращения в исходное положение. То есть поворот точки вокруг точки на угол выполняется следующим образом

Композиция трех матриц преобразования дает общую матрицу вращения вокруг произвольной точки

В частности, для

для

для

В заключении отметим, что хотя композиция (умножение) матриц в общем случае не коммутативно, но в некоторых частных случаях коммутативность имеет место, то есть , если , :

перенос, перенос

масштабирование, масштабирование

поворот, поворот

общее масштабирование, поворот

3) Двумерное смещение и однородные координаты. Точки в бесконечности. Двумерное смещение и однородные координаты

Очень часто используемым преобразованием в машинной графике является преобразование смещения (переноса начала координат). Такое преобразование нельзя реализовать умножением на матрицу (начала координат инвариантно к умножению на матрицу ).Эту трудность можно устранить, введя третью компоненту в вектор координат тачки и третью строку в матрицу преобразования. Получим

То есть введенная третья строка как раз и реализует требуемое смещение.

Однако, матрица преобразования не является квадратной и, значит, не имеет обратной матрицы. Это часто оказывается неудобным. Поэтому дополним ее до квадратной, тогда получим

Итак, теперь мы имеем трехмерный вектор координат точки на плоскости и матрицу преобразования размера .

В случае произвольных значений элементов матрицы получим вектор преобразованных координат вида .

Представление двумерного вектора трехмерным или, в общем случае, представление - мерного вектора в - мерным называется однородным координатным воспроизведением; координаты – однородными координатами.

Однородные координаты интерпретируются как результат масштабного преобразования точки , лежащей в плоскости , в точку в плоскости . При однородном координатном преобразовании -мерного вектора оно выполняется в ( -мерном пространстве, а конечные результаты в мерном пространстве получают как

; .

Очевидно, что для любой точки на плоскости существует бесконечное множество однородных координатных представлений . Например, однородные координаты , и представляют одну и ту же точку .

Итак, элементы матрицы выполняют следующие функции:

покоординатное изменение масштаба, сдвиг; вращение;

смещение;

полное изменение масштаба;

получение центральных проекций; центр проектирования в начале координат.