3.4. Задачі лінійного програмування великої розмірності

3.4.1. Характеристика підходів до розв’язування задач великої розмірності

Сучасні тенденції розвитку економіки, такі як глобалізація, інтеграція, монополізація, характеризуються ускладненням управління економічними системами, розширенням взаємозв’язків, що не можна не враховувати при їх дослідженні. З математичної точки зору побудова математичних моделей таких систем приводить до задач великої розмірності. У таких випадках раніш розглянуті класичні методи дослідження операцій малоефективні.

У зв’язку з цим виникла необхідність розробки спеціальних методів для розв’язування задач великої розмірності. Більшість таких методів використовує ідею декомпозиції, яка полягає у розкладі задачі на ряд підзадач меншої розмірності, знаходження оптимальних розв’язків для кожної з них і наступне узгодження цих часткових розв’язків з умовами початкової задачі.

В залежності від структури основної задачі можливе вертикальне узгодження планів через єдину координуючу задачу, горизонтальне – узгодження розв’язків окремих задач, а також мішане узгодження.

В економічному аспекті засоби узгодження планів окремих задач можуть бути вартісні (як стимулюючі так і штрафні), лімітні, а також мішані.

Вперше ідею декомпозиції для розв’язування задач великої розмірності реалізували американські вчені Данциг і Вульф у 1960 році.. Методи, що дозволяють зводити розв’язок однієї задачі великої розмірності до розв’язку послідовності задач меншої розмірності, були далі розвинуті у роботах Д.Б. Юдіна та Б.Г. Гольштейна [13].

Метод декомпозиції Данцига-Вульфа [25], [32], [34] можна застосувати для задач великої розмірності зі спеціальною матрицею обмежень. Найбільш ефективним цей метод виявився для задач, матриця обмежень яких, має блочно-діагональну структуру (рис. 3.1.)

Блок-зв’язка =

Блок 1 =

Блок 2 =

............................................

Блок 3 =

Рис. 3.1.

Як показали подальші дослідження, метод Данцига-Вульфа може використовуватися і для задач лінійного програмування із матрицею обмежень загального виду.

Для задач великої розмірності, в яких частина обмежень має блочно-діагональну структуру, крім зв’язуючих обмежень є також і зв’язуючі змінні, застосування методу декомпозиції Данцига-Вульфа приведе до ускладнення алгоритму. Тому для таких задач розроблений спеціальний метод релаксації обмежень, запропонований Джофріоном, який розглядається в [34].

Оригінальний метод декомпозиції для розв’язування задач великої розмірності був запропонований Корнаі-Ліптаки [25], [34].

Одним з прикладів оптимізаційних задач великої розмірності є задача галузевого планування, в якій частина номенклатури продукції визначається держзамовленням, а друга – знаходиться у розпорядженні галузі. Дана задача має блочно-діагональну структуру частини обмежень. Ідея розв’язування такої спеціальної задачі полягає в агрегуванні змінних для побудови алгоритму декомпозиції [25].

Система обмежень задачі з блочно-діагональною структурою включає блок-зв’язку, що містить всі змінні, та блоки, кожен з яких містить тільки певну частину змінних, що не входять до інших блоків, а в сукупності вони містять всі змінні.

Для отримання діагональних блоків інколи може знадобитися перенумерація змінних, а також зміна послідовності обмежень.

Блоком-зв’язкою називають сукупність загальних обмежень, що зв’язують між собою змінні різних блоків. Відсутність такого блоку-зв’яки приводить до розпаду задачі на декілька (за кількістю діагональних блоків) самостійних, незалежних між собою підзадач, що визначені окремими блоками та відповідними доданками цільової функції. Розв’язок початкової задачі складається з розв’язків окремих задач, а оптимальне значення цільової функції дорівнює сумі значень цільових функцій підзадач. Наявність блока-зв’язки початкової задачі не дозволяє розглядати окремі діагональні блоки як самостійні задачі, так як змінні, що входять до них підпорядковані також і спільним обмеженням.