11. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенки.

Теплопроводность плоской стенки при стационарном режиме

Рассмотрим однородную стенку толщиной d. Температура изменяется только в направлении оси х. Температура на наружных поверхностях поддерживается постоянной (t_ст1 и t_ст2). Внутренние источники тепла отсутствуют.

При этих условиях количество теплоты, которое передаётся теплопроводностью через поверхность стенки f за время t, согласно закону Фурье: dQ = - l×dF×dt×(dt/dn) (1)

На основании дифференциального уравнения теплопроводности распределение температур только вдоль оси x представится в виде:

Интегрирование этого уравнения приводит к функции t = C₁x + C₂ (5),

где C₁ и C₂ - константы интегрирования.

Уравнение (5) показывает, что по толщине плоской стенки температура изменяется прямолинейно. Константы интегрирования можно определить, приняв соответствующие граничные условия:

если х = 0, то t = t_ст1 и уравнение (5) примет вид: t_ст1 = C₂

Если х = d, то t = t_ст2 и t_ст2 = C₁d + C₂ или t_ст2 = C₁d + t_ст1

Откуда:

Подставив значения C₁ и C₂ в уравнение (5), получим:

Подставив найденное значение температурного градиента в уравнение теплопроводности (1), получим:

Расчётная формула теплопроводности для установившегося теплового потока через многослойную плоскую стенку выводится из уравнения теплопроводности для отдельных слоёв. В общем виде уравнение имеет вид:

Теплопроводность цилиндрической стенки .

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку длиной l с внутренним диаметром d₁ и внешним диаметром d₂. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен l. Внутренняя температура t₁ и внешняя t₂ поддерживаются постоянными, причём t₁ > t₂.

Температура изменяется только в радиальном направлении. Выделим в стенке кольцевой слой с радиусом r и толщиной dr. Согласно закону Фурье, количество тепла, проходящего через такой слой, равно

Q = - l×F×t×(dt/dr) = - l×2prL×(dt/dr) (6)

Разделив переменные, получим

dt = - Q/(2pLl) × dr/r (7)

Интегрируя уравнение (7) в пределах t_ст1 до t_ст2 и r₁ и r₂, получим

t₁ - t₂ = Q/(2pLl) × lnr₂/r₁

Откуда

Q = 2pL (t_ст1 – t_ст2)/(1/l × lnd₂/d₁) (8)

Выражение (8) является уравнением теплопроводности однородной цилиндрической стенки для установившегося теплового потока.

Уравнение теплопроводности для установившегося теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку

 

 

где d₁ и d₂, d₂ и d₃, d₃ и d₄ и т.д. – внутренний и наружный диаметры каждого цилиндрического слоя.

12. Теплообменные процессы. Конвективный теплообмен.

Теплообмен между поверхностью твёрдого тела и жидкой или газообразной средой при их непосредственном соприкосновении - теплоотдача или конвективный теплообмен. Передача тепла от поверхности твёрдого тела в ядро жидкой среды или от жидкой среды к поверхности твёрдого тела осуществляется теплопроводностью и конвекцией. Интенсивность конвективного теплообмена в основном определяется наличием и толщиной ламинарного пограничного слоя dг. Через этот слой тепло передаётся лишь путём теплопроводности. Толщина ламинарного пограничного слоя dг зависит от режима движения жидкости. Она уменьшается с увеличением скорости движения жидкости и уменьшением вязкости. Поэтому интенсивность теплоотдачи находится в прямой зависимости от скорости потока и в обратной – от вязкости среды.

В основе расчётов конвективного теплообмена лежит закон Ньютона:

dQ=adF(tп-tср)dt,Дж/ккал (1)

Q, переданной от теплообменной поверхности в окружающую её среду или, наоборот, от окружающей среды к теплообменной поверхности, прямо пропорционально площади поверхности теплообмена dF, разности T между поверхностью тела и средой (tп-tср) и временем dt.Коэффициент теплоотдачи a, характеризует интенсивность теплообмена. Представляет собой количество теплоты Q, отдаваемой единицей поверхности в единицу времени при разности температур между твёрдой поверхностью и средой в один градус. Размерность находится из уравнения (1).

Излучением- процесс переноса энергии в виде электромагнитных волн.

Тепловое излучение – результат внутриатомных процессов. Интенсивность теплового излучения возрастает с повышением Т тела. Распространяется в виде потока частиц, называемых квантами или фотонами, и обладает свойствами электромагнитных волн.

Тепловое и световое излучения имеют одинаковую природу, только различаются по длине волны. Длина волны световых лучей 0,4-0,8 мкм, инфракрасных лучей 0,8-400 мкм. Все тела не только излучают, но и непрерывно также поглощают лучистую энергию. При одинаковой температуре вся система тел находится в подвижном тепловом равновесии.

Количество энергии, излучаемое единицей поверхности в единицу времени, называется лучеиспускательной способностью тела

 Е=Q/F,[Вт/м2] (5)

Из общего количества энергии Qo, падающей на тело, часть её поглощается Q_А, часть Q_R отражается и часть проходит сквозь тела Q_D. Тогда баланс энергии составит:

Q_А+Q_R+Q_D=Qo (6)

Если тело поглощает всю падающую на него энергию, А = 1, а R = D = 0, такое тело называется абсолютно чёрным.

В природе абсолютно чёрных тел не существует. Наибольшей поглотительной способностью обладает нефтяная сажа, для которой А = 0,9-0,96. Если R = 1, то A = D = 0. Это означает, что вся энергия, падающая на тело, отражается. Такое тело называется абсолютно белым или зеркальным. Для полированных металлов R достигает 0,06-0,88. Если тело пропускает всю падающую на него энергию, такое тело называется абсолютно прозрачным или диатермичным. D = 1, а A = R = 0. Пример: чистый воздух. Кирхгофф установил, что отношение Е любого тела к его лучепоглощательной способности при той же температуре является величиной постоянной, равной Е абсолютно чёрного тела:Е1/А1 = Е2/А2 = … Еn/Аn = Еo/Аo = Еo = f(T)

где Ао – относится к абсолютно чёрному телу, Ао = 1.

Отношение Е любого тела к Е абсолютно чёрного называется степенью черноты:

e = Е/Eo

Лучистый теплообмен между двумя телами, произвольно расположенными в пространстве, рассчитывается по формуле: Q1-2 = eп Co Fр [(Т1/100)4 - (Т2/100)4] j1-2, [Bт] (10), где Fр – условная расчётная поверхность теплообмена

j1-2 – средний угловой коэффициент облучения

j1-2 = Q1-2/Q1, где Q1 – количество энергии, излучаемой первым телом.

 Расчётная формула лучистого теплообмена между телом и окружающей средой имеет следующий вид:Q1-2 = e1 Co F1 [(Т1/100)4 - (Т2/100)4] - A1(s) F2 Еs, [Bт]

где Q1-2 – количество отданного телом тепла, Вт

Т1 – температура тела, К,

Т2 – температура окружающего пространства, К

Еs – облучающая способность солнца, Вт/м2

A1(s) – поглотительная способность тела по отношению к солнечным лучам

F1 – поверхность тела, получающего энергию, м2

F2 – поверхность тела, освещаемая солнцем, м2

Излучение газов отличается от излучения твёрдых тел. Газы излучают и поглощают энергию не во всём диапазоне волн, как это характерно для твёрдых тел, а лишь в определённых интервалах волн, в так называемых полосах, и вне этих полос они прозрачны. Газы излучают и поглощают всем объёмом, а твёрдые тела – только поверхностью.

Лучеиспускательная способность газов несколько отклоняется от закона Стефана-Больцмана.

Е = C(Т1/100)4, где С – коэффициент лучеиспускания

С = er Со, где Со - коэффициент лучеиспускания абсолютно чёрного тела

Расчётное уравнение (приближённое) для лучистого теплообмена между газом и поверхностью тела имеет вид: E = er eп.эф. Co [(Тгаз/100)4 - (Тпв.тела/100)4] , где eп.эф. – эффективная степень черноты, принимается средней между eп и единицей

eп.эф. = (en + 1)/2