Тема 23. Гипотезы прочности и их применение

Обобщение понятия о напряженном состоянии в точке упругого тела; ис­ходные напряжения; постановка задачи об исследовании напряженного состоя­ния. Главные напряжения. Максимальные касательные напряжения.

Удельная потенциальная энергия деформации.

Напряженное состояние в точках бруса в общем случае его нагружения. Упрощенное плоское напряженное состояние; связь главных напряжений с нор­мальными и касательными напряжениями, возникающими в поперечных сече­ниях бруса.

Назначение гипотез прочности. Эквивалентные (равноопасные) напряжен­ные состояния. Эквивалентное напряжение.

Гипотеза наибольших касательных напряжений; формулы для эквивалент­ных напряжений (через главные напряжения и для бруса через напряжения в его поперечном сечении). Критика гипотезы и область ее применимости. Ги­потеза Мора; формулы для эквивалентных напряжений (через главные напря­жения и для бруса). Область применимости. Гипотеза энергии формоизмене­ния; формулы для эквивалентных напряжений (через главные напряжения и для бруса). Область применимости.

Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением; эквива­лентные моменты по различным гипотезам прочности. Расчет бруса круглого поперечного сечения при совместном кручении и растяжении (сжатии) и в об­щем случае нагружения.

Тема 24. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени

Условия работы деталей машин; возникновение переменных напряжений. Циклы напряжений. Максимальное и минимальное напряжение цикла. Среднее напряжение и амплитуда цикла. Коэффициент асимметрии цикла.

Усталостное разрушение, его причины. Кривая выносливости (кривая Вёллера). Предел выносливости. Связь пределов выносливости с характеристиками статической прочности; эмпирические формулы. Зависимость предела выносли­вости от вида деформации бруса. Понятие о зависимости предела выносливости от асимметрии цикла. Понятие о пределе ограниченной выносливости

Местные напряжения; теоретический коэффициент концентрации напряже­ний. Влияние концентрации напряжений на прочность деталей из пластичных и хрупких материалов при статическом нагружении деталей. Влияние концент­рации напряжений при переменных напряжениях; эффективный коэффициент концентрации напряжений.

Влияние абсолютных размеров детали на предел выносливости (масштаб­ный фактор). Влияние чистоты и состояния поверхности детали на предел вы­носливости.

Расчеты на прочность при одноосном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Расчеты на прочность при упрощенном плоском напряженном со­стоянии.

Тема 25. Контактные напряжения и деформации

Основные понятия и определения. Контакт сферических тел и цилиндров с параллельными образующими, формы площадок контакта, распределение кон­тактных давлений, формулы для максимальных контактных давлений. Напря­женное состояние в зоне контакта цилиндров с параллельными образующими; максимальные касательные напряжения.

Тема 26. Устойчивость сжатых стержней

Понятие об устойчивых и неустойчивых формах упругого равновесия. Критическая сила. Связь между критической и допускаемой нагрузками. Форму Эйлера при различных случаях опорных закреплений. Критическое напряжение. Гибкость. Предел применимости формулы Эйлера; предельная гибкость.

Эмпирические формулы для критических напряжений. График критических напряжений для малоуглеродистой стали в функции от гибкости. Расчеты сжатых стержней по формуле Эйлера и по эмпирическим формулам. Рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней.

ЛИТЕРАТУРА

1. Винокуров А.И. Сборник задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для учащихся машиностр. специальностей техникумов. – М.: Высш. школа, 1990. – 383 с.

2. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов: Учебник для учащихся машиностр. техникумов. – 7-изд. испр. – М.: Высш. шк., 1987. – 352 с.

3. Никитин Е.М. Теоретическая механика для техникумов. – 12-е изд., испр. – М.: Наука, 1988. – 336 с.

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – Изд. 33 стереотипное. – М.: Главная редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1973. – 448 с.

5. Соколовская В.П., Сергеева Н.Е., Дреер Е.Ю. Техническая механика. Лабораторный практикум. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 160 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

В рекомендованных учебниках [1], [2], [3], а также в руковод­ствах [4] - [7] учащиеся найдут достаточное число примеров задач подобных тем, которые включены в контрольную работу. Поэтому ниже даны лишь необходимые краткие методические указания к ре­шению задач контрольной работы.

Первую задачу (задачи 1—10) следует решить после изучения тем «Связи. Реакции идеальных связей» и «Система сходящихся сил». Во всех задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два гру­за. Таким образом, к шарниру Б в каждой задаче приложены четы­ре силы, из которых две неизвестны. Для задач этого типа универ­сальным является аналитический метод решения.

Последовательность решения задачи:

1. выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать;

2. освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. При­чем реакции стержней следует направить от шарнира Б, так как принято считать предположительно стержни растянутыми;

3. выбрать систему координат, совместив ее начало с точкой В, и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости X_i = O; Y_i = 0;

4. определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений;

5. проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не использовалось при решении задачи, либо решить задачу графически.

Пример 1. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁=70 кН и F₂=100 кН (рис. 1, а). Массой стержней пренебречь.

Рисунок 1

1. Рассматриваем равновесие шарнира Б (рис. 1, а).

2. Освобождаем шарнир Б от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис. 1, а).

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В.

X — R₁ cos 45° + F₂ cos 30° = 0. (1)

Y = R₁ sin 45° + R₂ + F₂ sin 30^е — F₁ = 0. (2)

4. Определяем реакции стержней R₁ и R₂, решая уравнения (1), (2). Из уравнения (1)

Подставляем найденное значение R₁ в уравнение (2) и получаем R₂=F₁—F₂ ∙sin 30°— R₁ ∙_∙sin 45°=70—100∙0,5—122,6∙0,707—66,6 кН, Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первона­чально выбранное направление реакции неверное — следует напра­вить реакцию R₂ в противоположную сторону, т. е. к шарниру В (из рис 1,б истинное направление реакции R₂ показано штриховым век­тором).

5. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически (рис. 1,в). Полученная система сил (рис. 1,6) находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник, пост­роенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник в следующем порядке (рис. 1,в): в выбранном масштабе (например, _сил = 2 кН/мм) откладываем за­данную силу F₁( ), затем из точки b под углом 30° к горизонту откладываем силу F₂( )_, далее из точек а и с проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2. Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый много­угольник abсd, в котором сторона , а сторона . Измерив длины этих сторон (в мм) и умножив на масштаб построения _сил, получаем значения реакций стержней: R₂ = cd _сил = 332 = 66 кН и R₁ = dа _сил = 612 = 122 кН.

Графическое решение подтверждает правильность первого реше­ния.

Вторую задачу (задачи 11—20) следует решать после изучения тем «Пара сил» и «Плоская система произвольно расположенных сил». Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реак­ций опор, так как с этого начинается решение многих задач по со­противлению материалов и деталям машин.

Последовательность решения задачи:

1) изобразить балку вместе с нагрузками;

2) выбрать расположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось у направив перпендикулярно оси х;

3) произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом , заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распре­деленную по закону прямоугольника нагрузку — ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки;

4. освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль выбранных осей координат;

5. составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор;

6. проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использо­вано для решения задачи.

Рисунок 2

Пример 2. Определить реакции опор балки (рис. 2, а).

1.Изобразим балку с действующими на нее нагрузками (рис. 2,а).

2. Изображаем оси координат х и у.

2. Силу F заменяем ее составляющими F_x—F cos и F_y—Fsin. Равнодействующая qCD равномерно распределенной нагрузки, приложенная в точке пересечения диагоналей прямоугольника (рис. 2, б), переносится по линии своего действия в середину участка CD, в точку К.

2. Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями (рис. 2, в).

3. Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

а) Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу опреде­ляем одну из неизвестных вертикальных реакций:

б) Определяем другую вертикальную реакцию:

в) Определяем горизонтальную реакцию:

6. Проверяем правильность найденных результатов:

Условие равновесия Y_i = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Третью задачу (задачи 31—40) следует решать после изуче­ния темы «Центр тяжести». В этих задачах требуется определить координаты цент­ра тяжести составного сечения. Навыки определения центра тяжести плоских фигур необходимы для успешного решения многих практи­ческих задач в технике, например, при расчетах на прочность в за­дачах сопротивления материалов.

Последовательность решения задачи:

1. выбрать метод, который наиболее целесообразен для данной задачи (метод группировок или метод отрицательных масс);

2. разбить сечение (фигуру) на простые элементы, для которых центры тяжести известны;

3. выбрать оси координат данной сложной плоской фигуры;

4. определить координаты центров тяжести отдельных простых фигур относительно выбранных осей координат заданной плоской фигуры;

5. определить положение центра тяжести плоской фигуры по фор­мулам:

где x_с и y_с — искомые координаты центра тяжести заданной фигу­ры; x_i и у_i — координаты центров тяжести составных частей фигу­ры, которые определяются непосредственно из заданных размеров; A_i—площади составных частей, которые определяются исходя из тех же размеров.