15. Квантовые статистики идеального газа. Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Условия перехода к классической статистике, критерий вырождения.

Квантовые статистики применяются к системам, состоящим из большого числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. В квантовой статистике, как и в классической, используется 6-мерное фазовое пространство (-пространство). В таком пространстве по взаимно перпендикулярным осям откладывают декартовы координаты x, y, z и проекции импульса p_x, p_y, p_z. В квантовой статистике все состояния одинаковы, если им соответствует ячейка -пространства размером , где h – постоянная Планка. Элемент объема -пространства, соответствующий условию, что координаты и импульс частицы изменяются в пределах [x,x+dx], [y,y+dy], [z,z+dz], [p_x,p_x+dp_x], [p_y, p_y +dp_y], [p_z,p_z+dp_z] записывается в виде Состояние частицы определяется указанием ячейки -пространства, в которую "попадает" данная частица.

Квантовая статистика строится на принципе тождественности частиц. При этом считается, что состояние частиц не меняется при перестановке частиц внутри одной и той же ячейки фазового пространства и при перестановке между различными ячейками -пространства.

Основная задача квантовой статистики состоит в нахождении равновесного (т.е. наиболее вероятного) распределения частиц по возможным квантованным значениям ₁, ₂,…,  _k энергии  частицы.

Частицы с целым или нулевым спином (в единицах ) называются бозонами. К ним относятся:

1. К- и -мезоны со спином 0;

2.атомы и ядра атомов с целочисленным спином;

3. фотоны.

Бозоны описываются квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. В данной статистике бозоны рассматриваются как идеальный газ, т.е. считается, что между частицами нет взаимодействия. Бозоны не подчиняются принципу Паули, поэтому на них не накладываются ограничения на число частиц, которые могут находиться в одной ячейке фазового -пространства. Для бозонов характерно то, что вероятность возникновения бозона в состоянии, где уже имеется n частиц, пропорциональна n. Т.е. бозоны "любят" накапливаться в одном квантовом состоянии. Функция распределения для системы тождественных бозонов называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна f_Б. Она имеет следующий вид:

, (1)

где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, – энергия квантового состояния, – химический потенциал частиц. Величина  равна производной от энергии системы U по числу частиц N в ней, при условии, что объем и энтропия системы не изменяются:

.

Данная функция определяет среднее число бозонов, находящихся в состоянии с энергией  при температуре Т.

Частицы, обладающие полуцелым спином (в единицах ) называются фермионами. К фермионам относятся:

1. электроны;

2. нуклоны (протоны и нейтроны);

3. ядра и атомы с полуцелым спином.

Фермионы описываются квантовой статистикой Ферми-Дирака. Фермионы помимо принципа тождественности подчиняются еще и принципу Паули, и в данном квантовом состоянии (или ячейке -пространства) не может находиться более одного фермиона. Поэтому статистика Ферми-Дирака отличается от статистики Бозе-Эйнштейна.

Функция распределения для системы тождественных фермионов называется функцией распределения Ферми-Дирака f_Ф. Данная функция имеет вид:

. (2)

Она определяет среднее число фермионов в состоянии с энергией  при температуре Т.

Газы, подчиняющиеся законам классической механики, будем называть невырожденными. Для таких систем частиц применяется классическое распределение Максвелла-Больцмана. Газы починяющиеся квантовым статистикам, называют вырожденными.

Функции распределения в классической и квантовых статистиках могут быть выражены единой формулой: . (3)

Д ля распределения Максвелла-Больцмана =0, для распределения Ферми-Дирака =+1, для распределения Бозе-Эйнштейна = –1.

На практике расстояния между уровнями энергии поступательного движения малы по сравнению с тепловой энергией kT. Поэтому энергетический спектр частиц можно считать непрерывным. Тогда вместо среднего числа частиц на уровне энергии  вводят среднее число частиц df с энергиями между  и +d:

, (4)

где g = 2s+1, - число состояний с энергиями в интервале от  до +d с учетом спина.

Величина df должна удовлетворять условию нормировки, выражающего постоянство числа частиц, находящихся в данном объеме:

. (5)

Определим условия, при которых квантовая статистика переходит в классическую.

Пусть энергия частицы сводится к кинетической: . (6)

Как следует из (4), различие между статистиками исчезает при . При энергиях нужно, чтобы было , в этом случае . Тогда из условия нормировки (5) находим: (7)

Заменим в (7) импульс на энергию с учетом (6):

=

= отсюда , т.е. критерием применения классической статистики является условие

(8)

При выполнении обратного условия наступает вырождение и следует пользоваться квантовыми статистиками. В (8) входит масса частиц, температура и концентрация частиц . Из (8) следует, что вырождение обусловлено следующими причинами:

1. малая масса частиц;

2. большая концентрация частиц;

3. низкая температура.