Сума і перетин підпросторів. Пряма сума.

Нехай два підпростори - лінійного простору Сумою двох підпросторів називають сукупність усіх векторів , які мають вигляд , де , . Перетином підпросторів називають множину векторів , кожен з яких належить як , так і : і . Означення: Пряма сума –це сума підпросторів U та V, якщо U∩V = {a}.

Пряму суму позначають U⊕V.

Твердження 2.6. Критерій прямої суми :

U⊕V⇔якщо  вектора W є U⊕V, розклад w=u+v –однозначний.

dim (U +V)=dim U +dim U – dim (U∩V)

dim (U⊕V)= dim U +dim V.

Приклад 2.5 Довести, що сума і перетин двох підпросторів є також підпростором.

Розв'язання. Доведемо для випадку суми підпросторів. Нехай . Отже, , , де , . Сумою цих векторів буде

тому, що , а , то , тобто сума довільних двох векторів із належить .

Таким чином виконуються обидві умови критерію підпростору, отже, - підпростір.

Аналогічно доводять, що - підпростір. Пропонуємо це зробити самостійно.

Евклідові простори

Лінійний простір V над полем дійсних чисел R називають евклідовим простором, якщо в ньому визначено скалярний добуток, тобто відображення V V—R,

Яке кожній впорядкованій парі векторів a, b E V ставить у відповідність дійсне число (a, b) E R так, що виконуються такі властивості (аксіоми скалярного добутку):

1) a, b V (a, b)=(b, a);

2) a, a’, b V (a+a’, b)=(a, b) + (a’,b);

3) R, A a, b V ( a, b)= (a, b);

4) V, (a, a) ≤ 0, (a, a) = 0  a = 0

Довжиною вектора х евклідового простору V називають число . З цього означення безпосередньо видно, що нуль-вектор є єдиним вектором, довжина якого дорівнює нулю. Крім того, якщо , то .

Теорема 2.5. (нерівність Коші-Буняковського). Для кожної пари векторів х і у з евклідового простору V .

Назвемо кутом між векторами х і у таке дійсне число а, для якого .

Твердження 2.7. Довжина вектора х має такі властивості:

1) = 0  x = 0;

2) = , E R;

3) (нерівність трикутника).

Вектори х і у евклідового простору V називають ортогональними, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю. Систему ненульових векторів евклідового простору називають ортогональною, якщо кожні два вектори цієї системи ортогональні.

Теорема 2.6. (про ортогональність). Нехай а ,…,а – лінійно незалежна система векторів евклідового простору V. Тоді для кожного і, 1 i k існує ортогональна система векторів b1,…,bi така, що лінійна оболонка L(b ,…,b ) дорівнює L(а ,…,a ).

Теорема 2.7. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

База а₁,…ап скінченно вимірного лінійного простору називається ортогональною, якщо кожні два вектори цієї бази ортогональні.

Теорема 2.8. У кожному скінченновимірному евклідовому просторі існують ортогональні бази.

Систему веторів е ,…,е називають ортонормованою, якщо ця система ортогональна і = 1 для всіх і 1 .

Для ортонормованих векторів е ,...,е

якщо: , де - символ Кронекера

Теорема 2.9. У кожному скінченнвимірному евклідовому просторі існують ортонормовані бази.

Теорема 2.10. Скалярний добуток векторів евклідового простору дорівнює сумі добутків відповіднх координат цих векторів стосовно будь-якої ортонормованої бази.

Приклад 2.6. Чи можна в лінійному просторі матриць М_2×2 (ℝ) ввести скалярний добуток за формулою (А, В)= a₁a₂-b₁b₂+c₁c₂-d₁d₂, де

a₁ b₁

А = c₁ d₁

a₂ b₂

B = c₂ d₂

Розв’язання :

Не можна, оскільки не виконується аксіома 5 скалярного добутку. Дійсно для матриці А = матимемо (А, А)=1-1=0, хоча А0.

Приклад 2.7. Довести, що в просторі Р₂(х) многочленів, із дійсними коефіцієнтами зі степенем не вищем від 2, скалярний добуток можна ввести за формулою (f, g)=f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1).

1) Перевіримо, що (αf, g)=α(f, g), де α є ℝ

2) Для довільного многочлена f(x) маємо (f, f)=f²(-1)+f²(0)+f²(1) ≥0

3) Покажемо, що якщо (f, f)=0, то f=0. Нехай (f, f)=0, тобто

f²(-1)+f²(0)+f²(1)=0. Звідси отримаємо, що f(-1)=f(0)=f(1)=0. Оскільки степінь многочленна не перевищує 2, то він має не більш ніж два корені. Отже, f(x)=0, тобто f(x) –нульовий елемент простору Р₂(х).

Приклад 2.8. Довести нерівність трикутника.

Доведення:

Використовуючи нерівність Коші - Буняковського

,

одержимо

Залишається добути квадратний корінь.

Приклад 2.9. Довести теорему Піфагора: якщо вектори та ортогональні, то .

Доведення:

Оскільки вектори , ортогональні, то . Отже,

.