Індивідуальне завдання №2 лінійні простори.

Множина називається лінійним простором над полем Р, якщо на цій множині визначена алгебраїчна операція, яка кожній парі елементів ставить у відповідність елемент , а також для кожних , визначено добуток . Ці операції задовольняють такі аксіоми:

1.Операція + є асоціативною, тобто .

2. У множині існує нейтральний елемент відносно операції +, тобто .

3. У множині для будь-якого її елемента існує обернений елемент відносно додавання, тобто .

4. Операція + є комутативною, тобто .

5. , .

6. , .

7. , .

8.

Елементи множини , звичайно, називають векторами, елементи поля Р – скалярами.

Приклад 2.1. Розглянемо множину R₊ додатніх чисел з наступними операціями : додавання – для довільних a, b є R₊ їх сума a+b=ab; множення на скаляр з поля Р – для довільних a є R₊ і λ+P їх добуток λa=a . Чи утворює множина R₊ з вказаними операціями лінійний простір?

Розв’язання: Відмітимо, що результат виконання обох операцій належить до множини R₊. Це випливає з властивостей операції множення додатніх чисел і степеня з додатньою основою.

Перевіримо виконання восьми аксіом означення лінійного простору

1.  а, b є R₊ a+b=b+a, тобто ab= ba, що є справедливе згідно з комукаттивністю операції множення дійсних чисел.

2.  a, b, c є R₊ (a+b)+c=a+(b+c), тобто (ab)c=a(bc), що є правильним згідно з асоціативним законом операції множення дійсних чисел.

3. о є R₊ , що a+o=a, тобто ao=a, що, як випливає з властивостей операції множення дійсних чисел.

4.  a є R₊ ,  -a є R₊, що а+(-а)=о , тобто а(-а)=1. Це можливо , коли –а= є R₊.

5. ( a є R₊) і ( λ,  є P): (λ+)a=λa+ a, тобто а = а .

6. ( a, b є R₊) і( λ є P): λ(a+b)=λa+ λb, тобто (ab)=ab

7. ( a є R₊) і ( λ,  є Р):  λ(a)=(λ)a, тобто (а)=а

8.  а є R₊ : 1a=a, тобто а¹=а , що є правильним згідно з означенням степеня дійсного числа.

Таким чином виконуються всі аксіоми.

Отже, згідно з означенням лінійного простору множина R₊ з вказаними двома операціями утворюють лінійний простір.

Прикладами лінійних просторів також є : числовий n-вимірний простір над полем дійсних чисел, множина матриць порядку з елементами з поля Р, множина многочленів степеня не вищого від .

Лінійна залежність та незалежність векторів.

Систему векторів а₁, а₂, … а_n є L називають лінійно залежною, якщо існують скаляри не всі рівні нулю, такі що . У протилежному випадку вектори а₁, а₂, … а_n є L називають лінійно незалежними. Інакше кажучи, вектори а₁, а₂, … а_n є L лінійно незалежні, якщо лише тоді, коли .

Вираз називають лінійною комбінацією векторів а₁, а₂, … а_n . Сукупність всіх лінійних комбінацій векторів а₁, а₂, … а_n називають лінійною оболонкою цих векторів.

Твердження 2.1. Якщо система векторів лінійного простору містить нуль-вектор, то вона лінійно залежна.

Твердження 2.2. Якщо підсистема системи векторів є лінійно залежною, то і сама система є лінійно залежною.

Твердження 2.3. Кожна підсистема лінійно незалежної системи векторів є лінійно незалежною.

Твердження 2.4. Система векторів лінійного простору лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з цих векторів є лінійною комбінацією решти векторів.

Приклад 2.2. Довести, що система функцій лінійного простору дійсних функцій визначених на є лінійно незалежною.

Розв’язання. Припустимо, що , де . Взявши , одержимо . Тому . Для з останньої рівності одержимо . І так далі, підставляючи замість послідовно значення , одержуємо , що . Це означає, що система функцій є лінійно незалежною.