81. Статически неопределимые системы. Степень статической неопределимости, основная и эквивалентная система.

Статически неопределимыми называются системы, в которых не все реакции и внутренние силы, определяемые по недеформированному состоянию системы, могут быть найдены по уравнениям равновесия. Статически неопределимые системы содержат лишние связи, что является их кинематическим признаком. Число лишних связей, устранение которых обращает систему в статически определимую, называется степенью статической неопределимости системы.

Реакции и внутренние силы в статически неопределимых системах могут быть определены только при использовании наряду с уравнениями равновесия дополнительных уравнений, вытекающих из деформированного состояния системы. Величины реакций и внутренних сил статически неопределимых систем зависят от того, в какой стадии находится сооружение, т.е. работает ли материал сооружения до предела пропорциональности или за пределом. Если материал сооружения работает до предела пропорциональности, то реакции и внутренние силы определяются по упругой стадии работы сооружения, т.е. по «упругому» расчету. Если же материал сооружения работает за пределом пропорциональности, то реакции и внутренние силы надо определять по упругопластической стадии его работы, по «пластическому» расчету.

 Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой сис­темы, называется степенью статической неопредели­мости системы.

Для определения усилий в статически неопределимой системе необ- ходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения деформаций. Для этого необходимо превратить заданную статически неопределимую задачу в статически определимую удалением лишних связей. Полученная таким образом система называется основной системой (рис. 3.7).

Удаление каких-либо связей не изменяет внутренних усилий в сис-

теме и её деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, являющиеся реакциями отброшенных связей. Поэтому, если к основной системе, кроме заданной нагрузки, приложить реакции устра- нённых связей, то её деформации и внутренние усилия будут такими же, как в заданной системе, т.е. обе системы будут эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся связей перемещений быть не может, поэтому в эквивалентной системе перемещения по на- правлению отброшенных связей должны быть равны нулю. Следователь- но, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при кото- рых перемещения по их направлениям равны нулю.

82. Канонические уравнения метода сил.

Первый индекс при   соответствует направлению перемещения, а второй — силе, вызвавшей это перемещение.

   В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

   Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2,..., Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

 

   Так как под величиной   понимается взаимное смещение точек, то   обозначает вертикальное смещение точки В относительно С,   — горизонтальное взаимное смещение тех же точек,  есть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина  .

   В точках A и D смещения   являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений 

   Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых  , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину  можно записать в следующем виде:

   Что касается перемещений  ,   и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины  ,  ,... в уравнениях оставим неизменными.

Теперь уравнения примут вид:

   Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается.