1.1.Теорема 1.

Кожна гра з повною інформацією має сідлову точку і, значить, має розв’язок в чистих стратегіях.

В кожній грі з повною інформацією існує пара оптимальних стратегій, що дає стійкий виграш, який дорівнює ціні гри v. Якщо розв’язок гри відомий, то сама гра тратить сенс. Наприклад, шахматна гра або закінчується виграшем білих, або виграшем чорних, або нічиєю, тільки чим саме – ми поки що не знаємо. Додамо ще: навряд чи будемо знати в найближчому майбутньому, бо кількість стратегій така велика, що надзвичайно важко привести шахматну гру до матричної форми і знайти в ній сідлову точку.

2.Розв’язання матричної гри в змішаних стратегіях

Якщо платіжна матриця не має сідлової точки, тобто a <b и , то пошук розв’язку гри приводить до застосування складної стратегії, що полягає у випадковому застосуванні двох і більше стратегій з певними частотами.

Означення 1. Складна стратегія, що полягає у випадковому застосуванні всіх стратегій з певними частотами, називається змішаною.

В грі, матриця якої має розмірність m ´ n, стратегії першого гравця задаються наборами ймовірностей (x₁, x₂, ..., x_m), з якими гравець застосовує свої чисті стратегії. Ці набори можна розглядати як m-мірні вектори, для координат яких виконуються умови

, x_i ³ 0, .

Аналогічно для другого гравця набори ймовірностей визначають n-мірні вектори (y₁, y₂, ..., y_n), для координат яких виконуються умови

= 1, y_j ³ 0, .

Виграш першого гравця при використанні змішаних стратегій визначають как математичне сподівання виграшу, тобто він дорівнює

.

2.1.Теорема 1. (Неймана. Основна теорема теорії ігор.)

Кожна скінченна гра має, по крайній мірі, один розв’язок, можливо, в області змішаних стратегій.

Застосування оптимальной стратегії дозволяє отримати виграш, що дорівнює ціні гри: a £ v £ b.

Використання першим гравцем оптимальної стратегії _опт повинно забезпечити йому при любих діях другого гравця виграш не менше від ціни гри. Тому виконується співвідношення

, .

Аналогічно для другого гравця оптимальна стратегія _опт повинна забезпечити при любих стратегіях першого гравця програш, що не перевищує ціну гри, тобто справедливе співвідношення

, .

Якщо платіжна матриця не містить сідлової точки, то задача визначення змішаної стратегії тим складніше, чим більша розмірність матриці. Тому матриці великої розмірності доцільно спростити, зменшивши їх розмірність шляхом викреслювання дублюючих (однакових) і не домінуючих стратегій.

Означення 2. Дублюючими називаються стратегії, в яких відповідні елементи платіжної матриці однакові.

Означення 3. Якщо всі елементи i-ого рядка платіжної матриці більші від відповідних елементів k-ого рядка, то i-та стратегія гравця А називається домінуючою над k-ою стратегією. Якщо всі елементи j-го стовбця платіжної матриці менші від відповідних ементів k-го стовбця, то j-та стратегія гравця В називається домінуючою над k-ою стратегією.

2.2.Приклад

Розглянемо гру, представлену платіжною матрицею

.

a = max (2, 2, 3, 2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4, 5) = 4, a ¹ b, .

Всі елементи стратегії А₂ менші від елементів стратегії А₃, тобто А₂ явно невигідна для першого гравця і її можна вилучити. Всі елементи А₄ менше від А₃, виключаємо А₄.

.

Для другого гравця: порівнюючи В₁ і В₄, виключаємо В₁; порівнюючи В₂ і В₄, виключаємо В₂; порівнюючи В₃ і В₄, виключаємо В₃. У результаті перетворень отримаємо матрицю:

.

a = max (2, 3) = 3, b = min (4, 5) = 4, a ¹ b, .

Завдання . Розв’язати матричну гру, що задана цією початковою платіжною матрицею. Нехай у гравців A и B різні цілі. Ігра задана платіжною матрицею A_ij разміром (mxn). Потрібно написати Sci-файл функцію, якою передається платіжна матриця A в ролі параметра, результатом работи функції має бути розв’язок матричної гри – визначити ціну гри і номери оптимальних стратегій.

.