45. Полная система уравнений Максвелла.

Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля это теорема Гаусса для поля . Для заряда, непрерывно распределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью , это уравнение имеет вид:

Четвертое уравнение Максвелла - это теорема Гаусса для поля :

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме

Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимо дополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаются электрические и магнитные поля. Эти соотношения называются материальными соотношениями

, ,

где ε₀ и μ₀ - соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла следует, что

• источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,

• магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями,

• переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

Для стационарных полей (Е = const и В = const) уравнения Максвелла имеют вид

; ; ;

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поле.

Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса (см. стр.1-31):

По определению, дивергенцией и ротором векторного поля в данной точке М называют следующие производные по объёму:

,

где интегралы и есть, соответственно, скалярный и векторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает данную точку М , охватывая область с объёмом V .