Решение Пример 2

Множества X = Y, если Х  Y и Y  X.

Поэтому пока­жем сначала,

что (A  В)  C  (А  С)  (В  С),

т.е. любой произвольный элемент а из множества, заданного левой ча­стью соотношения, принадлежит и множеству, заданному правой частью соотношения.

Пусть а  (А  В)  С.

Тогда а (А  В) и а  С 

 (а  А или а  В) и (а  С) 

 (а  А  а  С) или (а  В и а  С) 

 а  (А  С) или а  (В  С) 

 а (A  С)  (В  С).

Таким образом, (A  B)  С  (A  С)  (В  С).

Покажем теперь, что (A C)  (B  C)  (A  B)  С,

т.е. любой элемент а из множества, заданного правой частью ис­ходного соотношения, принадлежит и множеству, заданно­му левой частью исходного соотношения.

Пусть а  (А  С)  (В  C).

Тогда а  (А  С) или а  (B  C) 

 (а  А и а  С) или (а  В и а С)

 (а  А или а В) и а  С 

 а  (А  В) и а С 

 а (А  B)  С.

Следовательно, (А  С)  (В  С)  (A  В)  С.

Таким образом,

(А  В)  С = (А  С)  (В  С), что и требовалось доказать.

2) Правил де Моргана (4.36):

a) или U \ (A  B)=(U/A)  (U / B).

б) или U \ (A  B)=(U/A)  (U / B).

покажем на примере первого соотношения, но разными способами: с привлечением определений I и П равенства множеств (см. § 1.1).

В соответствии с определением II равенства двух мно­жеств: А = В, если А  В и В  А.

Иначе говоря,

для любого а  U, если , то, и, наоборот, если , то :

.

Докажем соотношение = с использованием определения I равенства множеств: множества равны, если их элементы совпадают.

Иначе говоря, для любого а  U,

Если , то , то , то

Пусть , т.е. .

Тогда возможны случаи:

1) и ;

и ;

.

При этом:

1) так как , т.е. , то ;

2) так как , т.е. , то ;

3) так как , , т.е. , , то .

Пусть теперь , т.е .

Тогда , , т.е. , .

Следовательно,

Таким образом, = .

Показать справедливость правил де Моргана можно также с помощью диаграмм Вен­на (выполнить самостоятельно !) или иллюстрацией на при­мерах конкретных множеств.

Второе правило де Моргана доказать са­мостоятельно.

Пример 3.

Проиллюстрировать на примере конкретных множеств

A, B  U изоморфизм между булевыми алгебрами

множеств (b(U); Ç, È, ù); где U = 4, и булевой алгеброй двоичных векторов длины 4(В_п; &, Ú, ù).

Решение Пример 3.

Пусть U = {а, b, с, d}.

Тогда

(U) ={,{а}, {b}, {с}, {d,{а, b},..., {а, b, с},..., {а, b, с, d}}.

При n = 4 (для упрощения не будем разделять запятыми компоненты векторов):

В₄ = {(0 0 0 0), (0 0 0 1),(0 0 1 0), ...,(1111)};

|(U)| = В₄= 2⁴ = 32.

По определению изоморфизма булевы алгебры

(b(U); Ç, È, ù) и (В₄; &, , ) изоморфны, если:

между подмножествами из b(U) и двоичными векто­рами из В₄ существует взаимно однозначное соответствие - отображение Г: b(U) В₄, т.е. любому подмножеству

А из b(U) соответствует единственный вектор  из В₄ такой, что Г (А) =  и Г ^-1() = А;

2) для отображения Г: b(U) В₄ выполняется условие гомоморфизма, которое в случае заданных алгебр

(b(U); Ç, È, ù) и (В₄; &, Ú, ù) сводится к трем равенствам. Так, если Г (А) = , а Г (В) =  то:

а) Г (А  В) =   ,

б) Г(А  В) =   ,

в)

Проиллюстрируем выполнение всех условий изоморфиз­ма заданных алгебр на примере двух конкретных множеств, например А = {b, с} и В = {а, с, d}:

1) взаимно однозначное соответствие:

Г(A) = (0 1 1 0) = , Г(В) = (101 1) =  и наоборот,

Г ^-1() = Г^-1((0 110)) = {b, с};

Г ^-1() = Г^-1(1 0 11)) = {а, с, d}

2) условие гомоморфизма:

а) Г (А  В) = Г({b, с}  {а, с, d}) = Г({с}) = (0010) =

= (0 1 10)  (1 0 1 1) = a & b,;

б) Г(А  В) = Г({b, с}  {а, с, d}) = Г({а, b, с, d}) =

= (1 1 1 1) = (0 1 10)  (101 1) = a  b;

в) Г(A) = Г{U\A) = Г({a, b, c, d}\{b, с}) = Г( {a, d}) =

= (100 1) = .

Таким образом, алгебры (b(U); Ç, È, ù) и (В₄; &, Ú, ù) гомоморфны и отображение множеств Г: b(U) В₄ взаимно

однозначно, следовательно, данные алгебры также изомор­фны при данном отображении.

Пример 4.

Используя изоморфизм булевых алгебр мно­жеств и двоичных векторов, выполнить булевы операции:

над множествами А = {a, d, е}, В = {b, с, d};

над двоичными векторами  = (1 0 0 1 10) и

 = (010011).

Решение Пример 4.

Булевы алгебры множеств (b(U); Ç, È, ù) и двоичных векторов (В_п; &, Ú, ù) изоморфны при выполнении усло­вия: | U = n [см. (4.28)].

1) Пусть |U₁= n = 5 и U₁ = {а, b, с, d, е}, так что A,B  U.

Булева алгебра множеств (b(U); Ç, È, ù);

где U₁ = {а, b, с, d, е}, изоморфна булевой алгебре двоичных векторов длины 5 (В₅; &, , ).

Выполним операции надмножествами Ç, È, ù, используя изоморфизм этих алгебр Г: b(U₁)® В₅:

Г(А) = Г({a, d е}) = (1 0 0 1 1) = .

Г(B) = Г ({b,c,d}) = (0l 1 1 0) = .

Тогда:

а) Г(А  В) =  & =(1 0 0 1 1) (0 1 1 1 0) = (0 0 0 1 0).

Но вектору (0 0 0 1 0) соответствует множество {d}: Г^-1 ((0 0 1 0 0)) = {d}. Таким образом,

А  В = {d}.

б) Г{А  В)=  =(1 0 0 1 1)(0 1 1 1 0)=(1 1 1 1 1), но Г^-1 ((11111)) = {а, b, с, d, е}.

Таким образом, А  В = {а, b, с, d, е}.

в) = (10011) = (0 1 1 0 0),

но Г^-1 ((0 1 1 0 0)) ={b, с}, откуда

А = {b, с}.

Изоморфизм булевых алгебр множеств и двоичных век­торов позволяет заменить теоретико-множественные опера­ции над множествами поразрядными логическими операци­ями над двоичными векторами.