Булевы функции от n переменных

Булевы функции¹⁾названы в честь английского математика ХIХ века Дж. Буля, который впервые применил алгебраические методы для решения логических задач. Они образуют самый простой нетривиальный класс дискретных функций - их аргументы и значения могут принимать всего два значения (если мощность множества значений функции равна 1, то это тривиальная функция - константа !). С другой стороны, этот класс достаточно богат и его функции имеют много интересных свойств. Булевы функции находят применение в логике, электротехнике, многих разделах информатики.

Обозначим через B двухэлементное множество {0,1}. Тогда

это множество всех двоичных последовательностей (наборов, векторов) длины n. Булевой функцией от n переменных (аргументов) называется любая функция f(x₁, x_n): Bⁿ B . Каждый из ее аргументов x_i, 1 i n , может принимать одно из двух значений 0 или 1 и значением функции на любом наборе из B_n также может быть 0 или 1. Обозначим через множество всех булевых функций от n переменных. Нетрудно подсчитать их число.

Теорема 3.1.

Доказательство.Действительно, по теореме 1.1 число функций из k-элементного множества A в m-элементное множество B равно m^k . В нашем случае B={0, 1}, а A = Bⁿ . Тогда m=2 и k= |Bⁿ| = 2ⁿ . Отсюда следует утверждение теоремы.

Имеется несколько различных способов представления и интерпретации булевых функций. В этом разделе мы рассмотрим геометрическое и табличное представления, а также представление с помощью логических формул. В лекции 4 будет показано, как булевы функции можно представлять с помощью формул специального вида - дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм и многочленов Жегалкина. Кроме того, в лекциях 1 и 2 (курс "Введение в схемы, автоматы и алгоритмы") будет рассмотрено еще два способа представления булевых функций: логические схемы и упорядоченные бинарные диаграммы решений.

Геометрическое представление

B_n можно рассматривать как единичный n-мерный куб. Каждый набор из нулей и единиц длины n задает вершину этого куба. На рис. 3.1 представлены единичные кубы B_n при n=3,4.

Рис. 3.1. 

При этом существует естественное взимнооднозначное соответствие между подмножествами вершин n-мерных единичных кубов и булевыми функциями от n переменных: подмножеству A B_n соответствует его характеристическая функция

Например, верхней грани куба B³ (ее вершины выделены на рисунке) соответствует функция f: f(0,0,1)=f(0,1,1)=f(1,0,1)=f(1,1,1) =1 и f(0,0,0)=f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(1,1,0) =0. Очевидно, что указанное соответствие действительно взаимнооднозначное: каждая булевая функция f от n переменных задает подмножество A_f={(x₁, …, x_n)|f(x₁, …, x_n)=1} вершин Bⁿ . Например, функция, тождественно равная 0, задает пустое множество Bⁿ , а функция, тождественно равная 1, задает множество всех вершин Bⁿ .

Табличное представление

Булевы функции от небольшого числа аргументов удобно представлять с помощью таблиц. Таблица для функции f(x₁, …, x_n) имеет n+1 столбец. В первых n столбцах указываются значения аргументов x₁, …, x_n , а в (n+1)-ом столбце значение функции на этих аргументах - f(x₁, …, x_n) .

Таблица 3.1. Табличное представление функции f(x1, …, xn)
x1	.	.	.	xn-1	xn	f(x1, …, xn)
0	.	.	.	0	0	f(0, …, 0,0)
0	.	.	.	0	1	f(0, …, 0,1)
0	.	.	.	1	0	f(0, …, 1,0)
.	.	.	.	.	.	…
1	.	.	.	1	1	f(1, …, 1,1)

Наборы аргументов в строках обычно располагаются в лексикографическом порядке:

( ₁, …, _n) < (β₁, …, β_n) существует такое i [1,n], что при j < i _j = β_j , а _i < β_i .

Если эти наборы рассматривать как записи чисел в двоичной системе счисления, то 1-ая строка представляет число 0, 2-ая - 1, 3-я - 2, … , а последняя - 2^n-1 .

При больших n табличное представление становится громоздким, например, для функции от 10 переменных потребуется таблица с 1024 строками. Но для малых n оно достаточно наглядно.