1.3. Ряды Фурье.

[ 1, гл.3, §8; 2, гл.17, §1-7,10]

Если имеет период , то ряд Фурье имеет вид ,

где

В точках разрыва сумма равна среднему арифметическому односторонних пределов слева и справа, т. е. если точка разрыва, то сумма ряда Фурье равна

Если чётна , то коэффициенты Фурье на можно вычислять по формулам:

и в ряде Фурье сохраняются только косинусы.

Если нечётна , в ряде Фурье сохраняются только синусы:

Пример 6. Разложить функцию ,

в ряд Фурье и построить график суммы ряда.

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье, учитывая нечетность заданной функции. Полагая , получим .

Запишем разложение функции в ряд Фурье

.

Построим график суммы ряда для , с учетом точек разрыва

.

1.4. Элементы теории функций комплексной переменной

[ 1, гл.7, §1-3; 4, гл.1, §3,4; 5, гл.1 §2, задачи 48,52,56; §3, задачи 69,73,75,77; §6,7 ]

1.5. Операционное исчисление.

[ 1, гл.8, §1-4; 2, гл.19, §1-19]

Операционным методом удобно решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Этот метод заключается в преобразовании данного уравнения (или системы), содержащего оригиналы, в уравнение относительно соответствующих изображений, после чего оказывается, что для нахождения изображений достаточно решить простое линейное алгебраическое уравнение (или системы таких уравнений). Затем остаётся восстановить оригиналы по найденным изображениям .

Для успешного применения методов операционного исчисления студенту нужно уметь свободно применять теоремы, проводить операции над оригиналами и изображениями и хорошо знать изображения основных функций.

Приведем основные понятия и определения, относящиеся к операционному исчислению.

Функцию f(t ), определенную для , будем называть оригиналом если она:

1) кусочно монотонна,

2) существуют такие числа , , что для любого выполняется соотношение

,

3) для .

Функцию , где р – комплексная переменная, определяемую соотношением

,

будем называть изображением оригинала и записывать

.

Справедливы следующие соотношения:

C₁f(t)+C₂f(t)  C₁F(p)+C₂F(p) ;

f⁽ⁿ⁾(t)  pⁿF(p) - p^n-1f(0) - … -f^(n-1)(0) ;

;

tⁿf(t)  (-1)ⁿ ;

e^-tf(t)F(p+);

f(t-t₀)F(p)e^{-t p}, t₀0-const ;

.

Таблица изображений элементарных функций.

f(t)	F(p)		f(t)	F(p)
e-t			e-t sinwt
tne-t			e-t coswt
			e-t shat
coswt			e-t chat
shat			te-t coswt
chat			te-t sinwt

Пусть функция f(t) – периодическая Т=Т₀ – период, тогда f(t) ,

где F₀(p)f₀(t), a f₀(t) =

Пример 7. Найти изображение оригинала.

f(t)=tcos²4t

Решение: Преобразуем данный оригинал и найдем изображение

f(t)= cos²4t = t(1+cos8t) = t + tcos8t 

 = = F(p).

Пример 8. Найти решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

, .