МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

Методические указания и контрольные задания к практическим занятиям по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(для студентов всех специальностей)

Часть III Утверждено на заседании

кафедры «Высшая математика»

Протокол № 9 от 20.05.03

Краматорск 2003

УДК 517

Методические указания и контрольные задания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математкика» (для студентов всех специальностей). Сост. С. А. Колесников, А. Н. Обухов, - Краматорск: ДГМА, 2003. – 44 с.

Составлены в соответствии с типовой программой «Высшая математика» для студентов дневной и заочной форм обучения.

Составители: А.Н.Обухов, доц.,

С.А.Колесников, доц.

Отв. за выпуск: А.Н.Астахов, доц.

1. Методические рекомендации к контрольным работам № 6,7 по разделам 3-го семестра

1.1. Числовые ряды.

[1, гл.3, §1,2; 2, гл.16, §1-6 ; 3, задачи 2485-2490 ].

Выражение называется рядом, а числа - членами ряда. Ряд называется сходящимся, если его частная сумма при имеет конечный предел при этом величина называется суммой ряда. Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости).

Обратное утверждение неверно: если , то ряд может быть и сходящимся, и расходящимся. Если не стремится к нулю, то ряд обязательно расходится.

При исследовании сходимости рядов с положительными членами используют достаточные признаки.

a) Признаки сравнения

Пусть даны два ряда: 1) 2) и пусть начиная с некоторого номера n>N, выполняется условие .

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

2. если расходится ряд 1, то расходится ряд 2.

П

сходится при и ее сумма ,

расходится при

ризнак сравнения иногда удобно применять в предельной форме: если то ряды 1 и 2 ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся. Ряд, с которым сравнивают исследуемый ряд, называют эталонным рядом. В качестве эталонных рядов используют ряды:

1) геометрическая прогрессия

сходится при ,

расходится при

2) обобщенный гармонический ряд

б) Признак Даламбера

Пусть существует . Тогда справедливы утверждения:

если , ряд сходится, если , ряд расходится, в случае вопрос о сходимости ряда не решён.

в) Радикальный признак Коши

Пусть существует . Тогда справедливы утверждения:

если , ряд сходится, если , ряд расходится, в случае вопрос о сходимости ряда не решён.

г) Интегральный признак

Если функция непрерывна и монотонно убывает на и начиная с некоторого n>N, то интеграл и ряд вместе одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд знакоположительный, общий член ряда . При ~ .

Применяем признак сравнения в предельной форме. Так как эквивалентен общему члену сходящегося обобщённо гармонического ряда , то исследуемый ряд сходится по признаку сравнения.

Если сходится ряд составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, то данный ряд также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если ряд из абсолютных величин расходится, а данный ряд сходится, то в этом случае он называется условно сходящимся.