3.11. Числові характеристики випадкових величин.

_{Нехай Х – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд S½хі½рі збігається.}

_{Тоді м а т е м а т и ч н и м с п од і в а н н я м випадкової величини Х називається сума ряду М (Х) = (47)}

_{Якщо S½хі½рі= +¥, то кажуть, що випадкова величина Х не має}

_{математичного сподівання.}

_{Властивості математичного сподівання:}

1. _{М(С) = С, якщо С = const.}

2. _{М(С∙Х) = С∙ М(Х), якщо С = const.}

_{3) Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань випадкових величин М(Х+У)= М(Х)+М(У).}

_{4) Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань М(Х*У)= М(Х)*М(У).}

_{Для неперервної випадкової величини Х математичне сподівання обчислюється за формулою М(Х) = . (48)}

_{Дисперсія дискретної випадкової величини Х визначається рівністю}

_{D(Х) =M[Х- M(х)]}² _{= M(Х}²_{) - ( M(Х))}² _{= (49)}

_{Властивості дисперсії.}

_{D(х) = 0 Х = соnst;}

_{D(х) 0;}

_{D(с∙Х) = c}² _∙D(Х);

_{D(Х C)= D(Х) .}

_{Якщо Х та У незалежні випадкові величини, то D(Х У)= D(х)+D(у).}

_{Дисперсія неперервної випадкової величини Х визначається за}

_{формулою D(Х) = , (50)}

_{або D(Х) = M(Х}²_{) - ( M(Х))}²_{. (51)}

_{Наслідки:}

1. _{Математичне сподівання появи події А в n незалежних випробуваннях рівне добутку числа випробувань на ймовірність появи події А в одному випробуванні: М(Х) = n∙p. (52)}

2. _{Дисперсія появи події А в n незалежних випробуваннях рівне добутку числа випробувань на ймовірність появи і непояви події А в одному випробуванні: D(Х) = n∙p∙q. (53)}

_{Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії . (54 )}

Приклад 29. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє _{квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х, що задана}

Таким законом розподілу

Х	2	4	5
р	0,5	0,3	0,2

▪ _{Спочатку обчислимо математичне сподівання}

_{М(Х) = = 2∙0,5+4∙0,3+5∙0,2 = 3,2.}

_{Далі обчислимо М(Х}²_{) = = 2}²_∙0,5+4²_∙0,3+5²_{∙0,2 = 11,8.}

_{Тоді дисперсія D(Х) = M(Х}²_{) - ( M(Х))}² _{= 11,8 – 3,2}² _{= 1,56.}

_{Середнє квадратичне відхилення = 1,249.} ▪

_{Приклад 30. Проводиться 10 незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти математичне сподівання, дисперсію випадкової величини Х – числа появи події в цих випробуваннях.}

▪ _{Математичне сподівання М(Х) = n∙p = 10∙0,8 = 8.}

_{Дисперсія D(Х) = n∙p∙q = 10 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 1,6.} ▪

_{Приклад 31. Обчислити математичне сподівання, дисперсію середнє квадратичне відхилення рівномірного закону розподілу.}

▪ Математичне сподівання М(Х) = _{= │ =} .

_{Дисперсія D(Х) = M(Х}²_{) - ( M(Х))}²_.

_M(Х²_{) = │ =}

_{D(Х) = (} )² = .

Середнє квадратичне відхилення _{= .}▪

_{Приклад 32. Обчислити математичне сподівання та дисперсію показникового закону розподілу.}

▪ Математичне сподівання М(Х) = _{= = …= .}

_{При обчисленні інтегралу використали формулу інтегрування по частинах.}

_{Дисперсія D(Х) = M(Х}²_{) - ( M(Х))}²_.

_M(Х²_{) = = = …= .}

_{При обчисленні інтегралу використали двічі формулу інтегрування по частинах.}

_{Тоді D(Х) = - ( )}² _{= .}

Середнє квадратичне відхилення _{= .}▪