3.8. Дискретні випадкові величини.

Випадковою будемо називати величину, яка в результаті випробування приймає певні випадкові значення.

Будемо позначати випадкові величини великими буквами X, У,Z, і т.д., а їхні можливі значення відповідно малими; х, у, z .

Випадкові величини можна поділити на дискретні і неперервні,

залежно від значень, які вони можуть набувати.

Дискретною називають випадкову величину, яка може приймати зчисленну скінченну чи нескінченну множину значень з певними ймовірностями.

Таблиці значень випадкової величини і відповідних їм ймовірностей називають табличним розподілом.

Біноміальним називають закон розподілу випадкової величини Х, заданий таблицею, у якій ймовірності р_і розраховуються за формулою Бернуллі.

Х	0	1	2	…	n-1	n
Р	qn	pqn-1	p2qn-2	…	pn-1q	pn

Постійні n і р, за допомогою яких проводяться розрахунки в таблиці, називають параметрами біноміального розподілу.

Якщо р є мале число, а n , то замість формули Бернуллі потрібно використати формулу Пуассона. Відповідний дискретний

розподіл називають розподілом Пуассона.

Приклад 20. Розглянемо приклад 13. Позначимо через Х кількість осіб, що декларують не весь товар, привезений із-за кордону.

За даними задачі біноміальний розподіл має такий вигляд:

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,32768	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032

Приклад 21. Завод відправив споживачу 5000 стандартних виробів. Ймовірність пошкодження виробу в дорозі оцінюється як 0,0002.

Записати закон розподілу чотирьох пошкоджених у дорозі виробів.

• За формулою Пуассона обчислимо ймовірності для k = 0,1, 2, 3, 4. Використаємо для цього відповідні таблиці (додатки) при

=5000∙0,0002= 1.

= 0,36788; = 0,36788; = 0,18394; = 0,06131; =0,01533.

Остаточно шуканий розподіл чотирьох пошкоджених у дорозі виробів має такий вигляд :

Х	0	1	2	3	4
Р	0,36788	0,36788	0,18394	0,06131	0,01533

•

3.9. Неперервні випадкові величини.

Неперервною називають випадкову величину, яка приймає всі

значення з деякого скінченного чи нескінченного проміжку.

Задають неперервні випадкові величини аналітичне за допомогою функцій розподілу: інтегральної та диференціальної. Можна задавати також неперервні випадкові величини графічно.

Ймовірність події, яка полягає в тому, що Х прийме значення менше х, тобто Р(Х<х), будемо називати інтегральною функцією розподілу.

Позначають інтегральну функцію символом F(х).

Отже, згідно з означенням, інтегральна функція розподілу задається формулою:

F(х) = Р(Х<х). (31)

Інтегральна функція володіє такими властивостями:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Р(х) — неспадна функція.

З властивості 2 маємо важливий

Наслідок 1. Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а, b)обчислюється за формулою

Р{а < Х < b} = F(b) - F(а). (32)

Диференціальною функцією розподілу називають першу похідну від

інтегральної функції розподілу.

Позначають диференціальну функцію розподілу так f(x):

Звідси у вигляді формули її записують так:

f(x) = F`(x) (33)

У літературі замість терміна диференціальна функція розподілу

вживають також терміни щільність або густина розподілу.

За означенням функції f(x) ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а,b) обчислюється за формулою

р(а<Х<b) = . (34)

Користуючись геометричним тлумаченням означеного інтегралу, формулі (34) можна дати таку інтерпретацію: ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а,b) рівна площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис, ординатами х = а і х = b та функцією f(x).

П риклад 22. Випадкова величина Х задана функцією розподілу

0, якщо х < 0

F(x) = х³ якщо 0 < х <1;

1, якщо х > 1.

Знайти ймовірність, що в результаті випробування Х прийме

значення з інтервалу (-4; 0,5), та побудувати графік функції F(х}.

• Використаємо формулу (32). Точка 0,5 належить інтервалу

Звідси Р{-4 < Х < 0,5} = F(0,5) - F(-4) = 0,125 - 0 = 0,125.

Для побудови графіка функції F(х) скористаємося тим фактом;

що на трьох інтервалах вона задана по різному. На півосі (- , 0) графік нашої кривої співпадає з віссю абсцис. На інтервалі (0;1) графіком

є частина кривої у = х³, а на— (1, ) — пряма паралельна осі абсцис

F=1. Остаточно графік інтегральної функції розподілу зображений на рис.

F(x)
1
0		1 x

Зауважимо при цьому, що крива F(х) є неперервною в усіх точках числової осі (- ;+ ).

Диференціальна функція f(х) аналогічно з інтегральною F(х) має дві основні властивості.

Властивість 1. Диференціальна функція —невід'ємна. f(х)>=0.

Властивість 2. Невласний інтеграл від диференціальної функції по всій числовій осі дорівнює одиниці:

(35)

Геометричне друга властивість для функції f(х) означає, що вся площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис та кривою розподілу, дорівнює одиниці.

У частинному випадку, коли можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а,b), то

(36)

Ми визначили диференціальну функцію розподілу f(x) за допомогою інтегральної — F(х). Обернена задача також вирішується однозначно, а саме, якщо подію {Х<х} переписати в вигляді {- } і використати формулу (34), то

F(x) = (37)

Другу властивість диференціальної функції розподілу f(x) часто

використовують для того, щоб задати випадкову величину.

Розглянемо приклади неперервних випадкових величин, що

найчастіше використовуються у дослідженнях: рівномірний, показниковий та нормальний розподіли.

Приклад 23. Нехай випадкова величина має постійну щільність розподілу і задається так:

0, якщо x < a,

f(x) = C, якщо a ≤ x ≤ b,

1, якщо x > b.

Bизначити постійну С.

■Використаємо властивість 2 щільності розподілу і той факт, щ о можливі значення випадкової величини зосереджені на інтервалі (а,в). Тоді

і С = .

Отже, випадкова величина, що має постійну щільність розподілу

задається так:

0, якщо x < a,

f(x) = 1/(b-a), якщо a ≤ x ≤ b, (38)

0, якщо x > b.

В ипадкова величина, що має постійну щільність розподілу, називається рівномірно розподіленою.

Графік щільності розподілу (38) для рівномірно розподіленої випадкової величини має такий вигляд:

f(x)
1/(b-a)
0	a		b			x

Ітегральну функцію розподілу для рівномірно розподіленої випадкової величини обчислимо за формулою (37).

0, якщо x < a,

F(х)= , якщо a ≤ x ≤ b, (39)

1, якщо x > b.

Функція (39) на графіку зображається такою кривою:

F(x)
1
0	a		b		x

З рисунку 12 бачимо, що крива інтегральної функції рівномірного розподілу є неперервною і складається з трьох частин: двох напівпрямих F=0 для i F=1 для х та відрізка прямої лінії

F= (х-а)/( b-а} на інтервалі (а,b). Зауважимо, що інтегральна функція

розподілу є неперервною для всіх неперервних випадкових величин.

Приклад 24. Неперервна випадкова величина Х розподілена за

показниковим законом розподілу

0, якщо х < 0,

f(x) =

е^-х , якщо х ≥ 0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення з інтервалу (1; 3).

• Скористаємося формулою (32):

Р(1<X<3)=e^-1- e^-3=e^-1(1-e^-2)=0,3679(1- 0,1353)=0,3181. Значення е ^-1 і е^-2 можуть бути знайдені за таблицями функції е ^-х.

Графіки функцій f(x) та F(x) показано на рис:

f(x)				F(x)
				1
λ
0				x 0				x

Випадкова величина, щільність розподілу якої задається формулою

0, якщо х < 0,

f(x) = (40)

е^-х , якщо х ≥ 0,

називається експоненціальною (показниковою).

Інтегральна функція експоненціального розподілу F(x)

0, якщо х < 0,

F(x) = (41)

1 - , якщо х ≥ 0.

Параметром експоненціального розподілу є λ.

Будемо говорити, що неперервна випадкова величина розподілена

нормально, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд

. (42)

для любого значення х з інтервалу і довільних чисел а і σ.

Числа а і σ називають параметрами розподілу.

Графіком функції (42) є крива, яку в літературі називають кривою Гауса або нормальною кривою:

f(x)
1/(σ )
0		a				x

Інтегральна функція нормального розподілу:

Перший інтеграл у літературі називають інтегралом Пуассона

його значення дорівнює 0,5. Тоді

. (43)

Графік функції(43) має вигляд:

F(x)
1
0,5
0					x

Ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал (α,β)

Р(α < Х < β)= . (44)

Для обчислення ймовірності відхилення нормально розподіленої

випадкової величини від свого математичного сподівання а на наперед задану величину δ отримаємо формулу

Р(│Х−a│<δ) = 2Ф(δ/σ) (45)

Приклад 25. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі

(математичне сподівання) дорівнює 25 мм, середнє квадратичне

відхилення 2 мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 20 і менше 27;

2. ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від

стандартного не більше ніж на 1мм.

• 1) Ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше α і менше β Р(α < Х < β) = Ф((β – а)/σ) – Ф((α – а)/σ),

де Ф (х)= –функція Лапласа,

Р(20 ≤ Х ≤ 27 ) = Ф((27– 25)/ 2) – Ф((20 – 25)/2) =

= Ф(1) – Ф(-2,5) = Ф(1) + Ф(2,5) = 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.

Значення Ф(1) = 0,3413, Ф(2,5) = 0,4938 шукаємо із таблиці

значень функції Ф(х).

2) Ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від

стандартного не більше ніж на

Р( )≈2Ф( ).

Тоді Р( 1) = 2Ф( ) = 2Ф(1,00) = 2 ∙ 0,2190 = 0,4380.

Значення Ф(0,58)=0,2190 знайшли по таблиці фукції Ф(х).

Відповідь: 1) 0,8351; 2) 0,4380.