3.14. Випадкові процеси. Марковські процеси.

Випадковими процесами називають випадкові величини, які змінюються залежно від часу або якого-небудь іншого параметру.

Випадковим процесом називається множина (сімейство) випадкових величин X(t)=X_t( ), t є Т, заданих на ймовірнісному просторі (U, S ,Р), де Т -деяка множина значень параметра.

Параметр t переважно інтерпретуеться як час.

Функцію Х_t( ) при фіксованій елементарній події є U називають реалізацією (траєкторією) випадкового процесу.

Якщо t=t₀ фіксоване значення часу, то Х_t0( )-звичайна випадкова величина.

Якщо параметр t набуває дискретні значення (t=0,1,2,...), то X(t) -процес з дискретним часом (випадкова послідовність), якщо t міняється на деякому інтервалі, X(t) - процес з неперервним часом.

Випадковий процес вважається заданим, якщо для будь-якого набору 0<t₀<t₂<...<t_n, t_i є Т вказано багатовимірний розподіл

F_t1,_t2,...,t_n(X₁,X₂,..,X_n) = P(X(t₁)<X₁,X(t₂)<X₂,...,X(t_n)<X_n), (72)

причому ці розподіли узгоджені між собою, тобто при n'<n

F_t1,_t2,...,t_n(X₁,X₂,..,X_n’) = F_t1,_t2,...,t_n(X₁,X₂,..,X_n’, ).

Випадковий процес X(t) називається процесом з незалежними значеннями, якщо для будь-якого набору, 0 t_o<t₂<...<t_n, t_i T, випадкові величини X(t₁),X(t₂),...,X(t_n) незалежні.

Багатовимірні розподіли випадкового процесу з незалежними значеннями визначаються повністю одновимірними розподілами тому, що F_t1..._tn(X₁,...,X_n) = F_t1(X₁) ∙F_t2(X₂) ∙...∙F_tn(X_n). (73)

Математичним сподіванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція m(t) = M(X(t)), значення якої при фіксованому значенні t=t₀ рівне математичному сподіванню випадкової величини X(t₀). Математичне сподівання m(t) - це деяка середня функція, навколо якої групуються реалізації випадкового процесу.

Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція (t) = D(X(t)) = M(X(t) - m(t))², (74)

значення якої при фіксованому значенні t=to рівне дисперсії випадкової величини X(t₀). Дисперсія характеризує розсіювання випадкового процесу відносно m(t).

Кореляційною функцією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція B(t,s) = M((X(t)-m(t))(X(s)-m(s))), (75)

значення якої при фіксованих значеннях t=to, s=s₀ рівне коефіцієнту кореляції двох випадкових величин X(t₀), X(s₀), при t=s B(t,s) = (t).

Нормована кореляційна функція (76)

характеризує залежність випадкових величин в момент часу t і s.

Для процесів з незалежними значеннями B(t,s)=0, t s, а відповідно і p(t,s)=0.

Випадковий процес X(t) називається стаціонарним, якщо його багатомірні розподіли інваріантні відносно зсуву, тобто для будь-якого s

F_{t1+s,t2+s,...,tn+s}(X₁,X₂,..,X_n) = F_t1,_t2,...,_tn(X₁,X₂,..,X_n). (77)

Випадковий процес з неперервним часом називається стаціонарним в широкому розумінні, якщо m(t) = m = const, (t) = = const

B(t,s) = B(s-t), s t. (78)

Ланцюги Маркова та їх характеристики.

Розглянемо випадкові процеси з дискретним часом і дискретною скінченною множиною значень-станів S₁,S₂,…,S_n, в яких знаходиться елемент процесу.

Наприклад, кожний робітник підприємства протягом робочого дня може перебувати в одному зі станів: S₁- працює, S₂- у відрядженні, S₃ - у

відпустці, S4 - хворий.

Розглянемо моменти t₁,t₂,...,t_j,... X_i=X(t_j) і X_і набуває значення S₁,S₂,...,S_n.

Простим узагальненням процесу з незалежними значеннями є

марківський процес, для якого

Р(Х_і=х_і / Х₁=х₁, Х₂=х₂,...,Х_і.₁ = х_і-1) = Р(Х_і=х_і / Х_і.₁=х_і-₁), (79)

тобто ймовірність попадання в стан X* =Sj в момент t_;i залежить не від всього минулого, а лише від стану Х_і-1 = S_j в якому процес був у попередній момент часу t_i-1.

Якщо позначити P(X(tj) = Sj /Х(t_i-1) = S_i) = p_ij, то отримаємо квадратну матрицю Р розміру n, яку називають матрицею переходу, оскільки її елементи - ймовірності переходів із стану і в стан j.

Марківські процеси називають ланцюгами Маркова, для яких різниці суміжних моментів спостереження t_i – t_i-1 дорівнюють подвійному числу, яке для простоти приймають за одиницю часу, і всі можливі стани перечислені.

Марківські ланцюги називають однорідними за числом, якщо ймовірності переходу за одиницю часу не залежать від того, де на осі часу відбувається перехід.

Однією з важливих характеристик ланцюгів Маркова є ймовірність переходу зі стану S_i в стан S_j за t кроків, яку позначимо р_ij (t) для t=l,2,...

Матрицю переходу з елементами р_ij (t) для t = 1,2,... позначимо через P(t).

Для знаходження ймовірності переходу з S_і в S_j відповідно до формулою повної ймовірності необхідно просумувати відповідні добутки за всіма проміжними станами 1:

p_ij(t) = (80)

Рівність (80) можна записати як добуток матриць:

Р(t) = P(s)∙P(t – s). (81)

Таким чином P(t) = P(l)∙P(t-l) = P(t-l)∙P(l) = Р^t, (82)

що дає можливість знайти ймовірності переходу між станами за будь-яке число кроків, знаючи матрицю переходу за один крок.

Теорема: Якщо для деякого t всі елементи матриці Р^t додатні, то ймовірність знаходитися в стані S_j для ланцюга Маркова при t не

залежить від початкового стану S_i і задовольняє рівняння р=рР, де р вектор-рядок з невід'ємними елементами

Вектор p(t) називається граничним розподілом.

Це означає, що при t ланцюг Маркова входить у стійкий режим, який характеризується наступними властивостями (Т - достаньо великий час):

1) середній час перебування в стані S_j дорівнює p_j T;

2) середній час повернення в стан S_j дорівнює 1/p_j.

Стан S_j, ланцюга Маркова, з якого можна лише вернутися в той самий стан S_j називається поглинаючим. Для поглинаючого стану p_jj =1.

Розглянемо ланцюги Маркова з числом станів k=m+1, в яких останні к-1 станів S_i, і = l+1,1+2,...,k неповоротні, а перші l станів Si, і = 1, 2, ..., 1 - поглинаючі. Для таких ланцюгів Маркова, які називають поглинаючими, можливо привести матрицю переходів порядку k ∙ k до блочного вигляду

(83)

де Q - матриця порядку (к-l) ∙ (к-l),

R - матриця порядку (к-l) ∙l, I_l- одинична матриця порядку l∙ l,

О - нульова матриця порядку l ∙ (k-l).

Система, яка описується ланцюгом Маркова з перехідною матрицею (83), поступово переходить з неповоротних станів у поглинаючі, знаходячись у неповоротних станах деякий випадковий час.

Нехай t_ij- випадкова величина, рівна загальному числу одиниць часу, протягом якого система знаходиться в стані S_j, якщо в початковий момент вона пребуває в стані S_i.

Для знаходження середніх значень величин t_ij використовують теорему: для поглинаючих ланцюгів Маркова з матрицею переходу (83) M = T_ij, (84)

де T_ij – елементи матриці Т = (І_k-l – Q)^-1.

Нехай t_i = - загальний час, включаючи час перебування в

початковому стані S_i, протягом якого система перебуває у всіх неповоротних станах до попадання в який-небудь поглинаючий стан;

b_ij - ймовірність попадання системи в поглинаючий стан S_j, j=l,2,...,l, при виході із стану S_і, і = l+1, ...,k.

Має місце наступна теорема:

для поглинаючих ланцюгів Маркова з матрицею переходу (83) Mt_i рівне компонентам вектора ТІ, де І - вектор-колонка з компонентами рівними l, а ймовірності b_ij - елементи матриці В = TR.

Приклад 37. Розглянемо ланцюг Маркова зі скінченною множиною станів. Множина станів студентів деякого вищого навчального закладу з 5- ним терміном навчання на початок навчального року наступна:

S₁ - першокурсник, S₂ - другокурсник, S₃ - третьокурсник,

S₄ -четвертокурсник, S₅ - випускник, S₆- спеціалісти, які закінчили навчання, S₇ - особи, які навчалися в даному навчальному закладі, але його не закінчили.

▪Складемо матрицю переходів з одного стану в інший, вважаючи, що відраховані не можуть бути поновленими.

Зі стану S₁ (першокурсник) за навчальний рік можливі переходи в наступні стани: S₂ (другокурсник), S₁ (залишитися повторно на першому курсі), S₇ (вибути з навчального закладу).

Тому р₁₂ + р₁₁ +р₁₇ = 1,

р₁₂ - ймовірність переходу на другий курс,

р₁₁ - ймовірність залишитися не першому курсі,

р₁₇ - ймовірність вибути з навчального закладу.

Для другокурсника (стан S₂) можливі переходи S₇ ,S₃ ,S₂ з відповідними

ймовірностями р₂₇, р₂₃, р₂₂, р₂₂ + р₂₃ + р₂₇ = 1.

Очевидно, що р₆₆ = 1, р₇₇ ⁼ 1, останні ймовірності переходу рівні 0. Тому матриця ймовірностей переходів має вигляд:

Приклад 38. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(2).

▪ Р(2) = Р² = = = ▪

Приклад 39. Знайти матрицю ймовірностей переходів для стоків рік. Розділяють стоки на чотири градації (стани): першу, другу, третю і четверту.

▪ Вважається, що за першою градацією (найнижчий стік) ніколи не настає четверта (найвищий стік), а за четвертою - перша.

Допустимо, що останні переходи можливі:

з першої градації можна потрапити в кожну з середніх вдвоє частіше, ніж знову в першу. Відповідно, ймовірності переходу з першої градації рівні р₁₁ =0,2, р₁₂=0,4, р₁₃=0,4, р₁₄=0;

з четвертої градації переходи у другу і третю бувають у чотири і п'ять разів частіше, ніж повернення у четверту градацію, тому

р₄₁ =0, р₄₂ ⁼0,4, Р₄₃=0,5, р₄₄=0,1;

з другої градації перехід може бути рідше в першу в два рази, в третю на 25%, у четверту в чотири рази, ніж у другу, отже,

р₂₁ = 0,2, р₂₂ = 0,4, р₂₃ = 0,3, р₂₄ = 0,1;

з третьої градації перехід у другу має таку ж ймовірність, як повернення у третю градацію, а переходи в першу і четверту в чотири рази рідші, тому р₃₁ =0,1, Р₃₂ =0,4, р₃₃ =0,4, р₃₄ =0,1.

Враховуючи попереднє, дістанемо наступну матрицю ймовірностей переходів для стоків рік:

.

Приклад 40. В задачі дано , що:

телефонна станція може обслуговувати виклики n абонентів; потік вимог, що поступають на станцію є простішим із середнім числом λ викликів у хвилину; тривалість телефонних розмов випадкова величина, що підпорядкована показниковому розподілу параметрів ν.

Потрібно визначити:

1) при якому значенні n ймовірність того, що всі лінії зв’язку зайняті не перевищує заданого числа ε;

2) математичне сподівання числа зайнятих ліній при знайденому n;

3) ймовірність того, що буде зайнято не менше m ліній.

λ=4, ν=4, ε=0,005, m=3.

▪ З апишемо формулу Ерланга рn = ,

де α = λ / ν = 4/4 = 1.

З найдемо значення n при якому рn < ε.

Для n=1, р1 =1 / (1+1) = 0,5.

Для n=2, р2 = 0,5 / (1+1+0,5) = 0,2.

Для n=3, р3 = (1/6) / (1+1+0,5+1/6) = 0,0625.

Для n=4, р4 =(1/24) / (1+1+0,5+1/6+1/24) ≈ 0,0156.

Для n=5, р5 = (1/120) / (1+1+1/6+1/24+1/120) ≈ 0,0031.

р5 < ε, 0,0031 < 0,005.

Отже, n=5.

2) Знайдемо математичне сподівання числа зайнятих ліній n=5.

5

М(5)=∑n∙рn=1∙0,5+2∙0,2+3∙0,0625+4∙0,0156+5∙0.0031≈2.

n=1

3) Знайдемо ймовірність того, що буде зайнято не менше 3 ліній.

р(n ≥3)=рn=3+рn=4+рn=5=0,0625+0,0156+0,0031=0,0812. ▪

Таблиця варіантів та контрольні завдання.

Номер варіанту співпадає із номером по списку в журналі.

№ пп	Номери задач
1	1	26	51	76	101	126	151	176	201	226	251	276	301	326
2	2	27	52	77	102	127	152	177	202	227	252	277	302	327
3	3	28	53	78	103	128	153	178	203	228	253	278	303	328
4	4	29	54	79	104	129	154	179	204	229	254	279	304	329
5	5	30	55	80	105	130	155	180	205	230	255	280	305	330
6	6	31	56	81	106	131	156	181	206	231	256	281	306	331
7	7	32	57	82	107	132	157	182	207	232	257	282	307	332
8	8	33	58	83	108	133	158	183	208	233	258	283	308	333
9	9	34	59	84	109	134	159	184	209	234	259	284	309	334
10	10	35	60	85	110	135	160	185	210	235	260	285	310	335
11	11	36	61	86	111	136	161	186	211	236	261	286	311	336
12	12	37	62	87	112	137	162	187	212	237	262	287	312	337
13	13	38	63	88	113	138	163	188	213	238	263	288	313	338
14	14	39	64	89	114	139	164	189	214	239	264	289	314	339
15	15	40	65	90	115	140	165	190	215	240	265	290	315	340
16	16	41	66	91	116	141	166	191	216	241	266	291	316	341
17	17	42	67	92	117	142	167	192	217	242	267	292	317	342
18	18	43	68	93	118	143	168	193	218	243	268	293	318	343
19	19	44	69	94	119	144	169	194	219	244	269	294	319	344
20	20	45	70	95	120	145	170	195	220	245	270	295	320	345
21	21	46	71	96	121	146	171	196	221	246	271	296	321	346
22	22	47	72	97	122	147	172	197	222	247	272	297	322	347
23	23	48	73	98	123	148	173	198	223	248	273	298	323	348
24	24	49	74	99	124	149	174	199	224	249	274	299	324	349
25	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325	350

У задачах 1-20 опишіть і де це можливо зобразіть графічно вказані множини (події):

1. В = {b : b — додатне ціле число, менше ніж 9}.

2. А = {а : а — від'ємне непарне ціле число, більше -10}.

3. С = {с : с— назва місяців року}.

4. Μ = {т : т — третя степінь додатного цілого числа, меншого ніж 6}.

5. Визначте , якщо U = {1,..., 10} і В = {b : b додатне непарне ціле число, менше ніж 9}.

6. Визначте Ρ , якщо U множина студентів вашої академгрупи, а Р — підмножина студентів, які отримали задовільні оцінки за першу атестацію.

7. Визначте S, якщо U={x: х - ціле число, не менше ніж 6 і менше 18},а = {8; 9; 11; 14; 17}.

8. Визначте Т, якщо U — множина, що складається з усіх додатних цілих чисел, а — множина додатних непарних чисел.

9. U={x: х -додатне ціле число, менше 30}, А = {3; 5; 9;17;23; 29},

В = {b: b — додатне непарне ціле число, менше 17}, С= {с: с — додатне непарне ціле число, менше 30}. Визначте підмножини, що можна утворити за допомогою попарного перетину цих множин.

10. U= {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;20;22}; А = {4; 6; 8; 20}, В = {4; 8; 16}. На­рисуйте діаграму Венна і покажіть на ній ці підмножини.

11. U= {х: х -від'ємне ціле число більше -13}, А = {а: а — від'ємне непарне ціле число більше -10}, В= {b:b - від'ємне ціле число більше -7}. Нарисуйте діаграму Венна, що показує ці підмножини.

12. Задано такі множини: А ={5,-2}; В = {х : (х- 5)∙(х+ 2)=0}; С = {х : х³–3х²–10х =0}; D={0, 5, -2}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

13. Задано такі множини: А = {0; 2;-2}; В={b: b³ – 4b= 0}; С={2; 0;-2}; D = {d: d∙(d – 2)∙(d + 2)=0}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

14. За даними задачі 12 знайдіть: а) А В; б) A D; в) А ;г) B D.

15. Для множин із задачі 10 знайти: A B; U; A ; . Результати дій зобразіть графічно за допомогою діаграм Венна.

16. Знайдіть A B, якщо А = {1; 2; 3; 4; 5; 9} і В = {1;3;6;7;9; 10}.

17. Дано U = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}, А = {4;8;12;16;20}, В= {2; 4; 6; 8; 22}. Визначте А В, А U, В U,A В.

18. Множина U складається з різних всеможливих сум очок при ки­данні пари гральних кубиків, a В = {4,8 і 9}, то визначте .

Якщо універсальна множина U складається з усіх від'ємних чисел, більших за -15, А - {-11;-10;-9;-8}, В — від'ємні числа, більші за -20, що діляться націло на 4, С — парні від'ємні числа, більші за -20, то визначте всі зв'язки підмножин, що можна утворити за допомогою операцій об'єднання і перетину.

19. Задано множини: А={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, В={1;4;8}, С={8;4;1}. Визначте, чи є серед них рівні. Побудуйте A В, А С, Α В.

20. Дано множини А = {-1;-2;-3;-4;-5;-7}, В = {-1;-2;-3;-4;-5; 5; -7;-8; 9}, С = {-2;-4;-6;-8}. Знайдіть A В, А С, Α В, С В, В С.

21. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, В = {1;4;7;8;12;}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}.

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

22. Задано множини: А = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, С={6;4;1}, В = {1;7;8;12;15},

U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

23. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, В = {1;4;7;8}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Знайдіть Α В, В, , .

24. Задано множини: А = {2;4; 6;8;10}, В = {4;8;12;16}, С = {8;12;18}, U = { 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20}.Знайдіть A В, В, , .

25. Виконати операції об’єднання і перетину числових множин:

А = {1,2,6,8,10}; В = {1,3,6,7,8}; С = {1,3,6,8,10}.

26. Шість осіб навмання вибирають собі місце за круглим столом. Знайти ймовірність того, що дві певні особи будуть сидіти поруч.

27. Шифр складається з п'яти елементів, де перші три — цифри, а два останні — букви україського алфавіту. Визначте кількість мож­ливих варіантів кодів.

28. Навчальна частина складає розклад на семестр. Для п'яти пред­метів вона розглядає чотири кандидатури можливих викладачів англійської мови; п'ять кандидатур викладачів економічноїтеорії, три викладачі математики, сім — історії і чотири — політології.Визначте кількість можливих груп викладачів на один день тиж­ня, в якому є три пари.

29. Визначте кількість можливих семицифрових телефонних номерів, якщо перші три цифри не дорівнюють нулю і:

а) будь-які інші цифри беруться з тих, що залишилися;

б) перша цифра є непарною, друга - непарною, а інші - парними;

в) всі цифри є непарними;

г) жодна цифра не повторюється.

30. На перегонах роблять ставки на тоталізаторі на десять ко­ней. Скільки різних пар коней, що займуть перші два місця, мож­ливі на цих скачках?

31. Кандидат у депутати відвідує 6 різних міст. Скільки існує різних маршрутів поїздок?

32. Компанія випускає кредитні картки, що мають перед чотирма цифрами дві літери українського алфавіту.

а) якщо кожна літера буде різна, то яка кількість таких карток можлива? б) якщо кожна з цифр буде різною, то яка кількість та­ких карток буде можливою?

в) скільки є всіх можливих варіантів для однієї кредитної картки?

33. Вісім астронавтів розглядаються як претенденти до наступного польоту. Якщо команда для польоту складається з трьох чоловік, то скільки можливих комбінацій астронавтів буде розглядатися?

34. Кандидат у депутати хоче відвідати 10 міст з 12, яка можлива кількість поїздок?

35. Експерт з управління цінними паперами розглядає 20 об'єктів для інвестування. Лише 10 з них будуть вибрані. Скільки різних ком­бінацій об'єктів може бути вибрано?

36. Чотири особи треба вибрати до ради директорів місцевого акціонерного товариства. Якщо вибиратимуть з десяти кандидатів, то скільки можливих груп буде розглядатися?

37. Профспілковий комітет складається з семи чоловік. Скількома варіантами можна вибрати голову, заступника і секретаря?

38. П'ять авіакомпаній подали заявку на експлуатацію нового між­ народного маршруту. Лише двом з них буде надано дозвіл на його експлуатацію. Скільки різних груп авіакомпаній можна виб­рати?

39. Велика науково-дослідна фундація розгля­дає вкладення коштів у дослідницькі медичні проекти. Було розг­лянуто 15 проектів і 8 з них отримали кошти. Яка кількість різних наборів проектів може бути профінансована?

40. У партії в бридж роздається по 13 карт чотирьом гравцям. Скіль­ки варіантів здачі карт може бути з колоди 52 карт?

41.Президент корпорації вирішив розпочати розробку нового товару, який би дав йому значну конкурентну перевагу. Президент хоче призначити спеціальну команду по ди­зайну товару, яка складається з трьох інженерів, одного фахівця по дослідженню ринку, одного фахівця з фінансових питань і двох наглядачів за виробництвом. Існує шість інженерів, чотири фахівці з ринкових досліджень, три фахівці з фінансових питань і п'ять технологів, які розглядаються як претенденти до цієї команди. Скільки різних дизайнерських команд можна створити?

42. Декан математичного факультету університету хоче віді­брати 4 четвертокурсники, 3 третьокурсники, 2 другокурсники і 2 першокурсники до математичної команди на олімпіаду. 10 чет­вертокурсників, 8 третьокурсників, 8 другокурсників, 6 першо­курсників подали заявки і були вибрані для конкурсу. Скільки рі­зних команд можна скласти?

43. Оптовий торговець уживаних машин має своїх посередників, які оцінюють їх із метою покупки й перепродажу. Посередники оці­нюють машини за розміром (великі, середні, компактні й малога­баритні), віком (0-2 роки, 2-4 роки, 4-6 років і більше 6 років), технічним станом корпусу (відмінний, хороший, задовільний і по­ганий). Визначте кількість можливих класифікацій автомобілів.

44. Торговець автомобілями має 10 різних моделей машин. На виста­вці він може показати лише 6 із них. Яку кількість різних комбі­націй машин може вибрати торговець для виставки?

45. Волейбольний тренер вибирає 6 найкращих гравців до початку гри. У команді 12 гравців. Якщо ми припустимо, що будь-який з них може бути вибраний для будь-яких шести різних позицій, то скільки різноманітних комбінацій гравців є можливими?

46. Офіціант ресторану збирається підібрати сортові вина для урочи­стого обіду, під час якого їх буде подаватися чотири типи. Перше вино подаватимуть із закусками, яких є 4 варіанти. Другий сорт вина буде подаватися разом із шістьма типами салатів, третій - із сіма стравами з риби й м'яса, четвертий — із шістьма ви­дами торту. Скільки можливих комбінацій подачі вин і страв мо­жуть розглядатися для цього обіду?

47. Кандидат у депутати бажає відвідати 7 різних міст. Скільки існує послідовностей їхнього відвідування?

48. Скільки різних телефонних номерів можна набрати при трицифровому коді і семицифровому місцевому номері?

49. Олімпійський баскетбольний відбірковий ко­мітет визначив спортивну команду з 30 гравців. Головний тренер вирішив, що його команда з 12 гравців, складатиметься з 3 цент­рових, 5 форвардів і 4 захисників. З 30 гравців, що відібрав комі­тет, 8 - центрових, 13 форвардів і 9 захисників. Скільки різних команд з 12 гравців може розглядатися?

50. У кімнаті 5 студентів. Яка ймовірність, що два і більше студенти не мають спільного дня народження?

51. Із колоди 52 карти навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це туз? Дама?

52. Із колоди 52 карти навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це туз бубей? Дама бубей?

53. Із колоди 36 карт навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це не туз і не король?

54. Із колоди 36 карт навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що вона більша (б’є) за десятку?

55. Кошик містить сім м'ячів у зелені цятки, шість м'ячів у зелені смужки, вісім м'ячів у блакитні цятки і три м'ячі у блакитні смуж­ки. Якщо вибрати навмання м'яч із кошика, то яка ймовірність, що м'яч буде: а) зеленим чи у смужку? б) поцяткованим? в) блаки­тним чи поцяткованим?

56. Проводилося спостереження над 2000 споживачів для того, щоб визначити купівельну спроможність стосовно двох типів холоди­льників. Виявилось, що протягом попереднього літа 500 чоловік придбало марку А, 350 - марку В і 125 — обидві марки А і В. Якщо людину вибирають навмання з цієї групи, то яка ймовір­ність того, що буде: а) придбано марку Α;

б) придбано марку В, а не Α;

в) придбано марку А або марку В чи обидві?

г) не придбано жодної марки?

57. 3 кошика вибирається навмання м'яч. У кошику — три м'ячі з червоними смужками, вісім однотонних червоних м'ячів, шість м'ячів із жовтими смужками, чотири однотонні жовті м'ячі й чо­тири м'ячі з блакитними смужками:

а) яка ймовірність витягнути навмання з кошика червоний смуга­стий м'яч?

б) яка ймовірність витягнути навмання з кошика жовтий смугас­тий м'яч?

в) яка ймовірність витягнути навмання з кошика блакитний од­нотонний м'яч?

58. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде парна кількість очок?

59. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде непарна кількість очок?

60. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде число очок, більше за чотири?

61. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде число очок, кратне трьом?

62. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде трійка?

63. Із 1000 підкидань монети, «решка» випала 499 разів. Яка ймовірність випадання «герба» ?

64. Яка ймовірність попадання точки у перший квадрант?

65. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оx навмання поставлена точка В(х). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу l/3.

66. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оy навмання поставлена точка В(y). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, меншу l/3.

67. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оx навмання поставлена точка В(х). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу l/5.

68. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оу навмання поставлена точка В(у). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, меншу l/5.

69. В центрі великого круга, радіусом 1м, знаходиться малий круг, радіусом 0,2м. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка у великий круг, попаде і у малий круг.

70. В прямокутник вписано круг, радіусом 0,1м. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка у прямокутник, попаде і в круг.

Сторони прямокутника 0,5м і 0,3м.

71. Дана множина U = {0 ≤ х ≤ 2; 2 ≤ у ≤ 6 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = х² +2 і у = 2х +2 ?

72. Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання, знаючи, що вона парна. Знайти ймовірність того, що набрана цифра — правильна.

73. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі товару у складі чотирьох інженерів і трьох спеціалістів з дослідження ринку. Яка ймовірність, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 9 інженерів і 8 спеціалістів з проблем ринку вибирати навмання сім осіб?

74. Інвестиційна компанія АBС має 10 пакетів акцій, серед яких є 6 пакетів цукрових заводів. Визначити ймовірність того, що серед навмання вибраних 4 пакетів акції є рівно 3 пакети цукрових заводів.

75. Дана множина U = {1 ≤ х ≤ 5; 0 ≤ у ≤ 2 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = 2 – (х - 3)² і у = 1?

76. Яка ймовірність того, що при трьох послідовних киданнях гральної кості випадатиме одиниця?

77. Ймовірність, що абітурієнт академії стане студентом - 0,35. Якщо три абітурієнти вибираються навмання, то яка ймовірність, що:

а) усі три стануть студентами?

б) жодного не приймуть?

в) приймуть лише одного?

78. В урні є 5 білих і 4 чорні кульки. 3 неї три рази виймають навмання по одній кульці, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність витягування спочатку білої, потім чорної і знову білої кульок.

79. Студент оцінює ймовірність отримання оцінки «відмінно» в 0,2 і «добре» в 0,3. Яка ймовірність, що студент:

а) не отримає балу «відмінно»?

б) не отримає балу «добре»?

в) не отримає ні «відмінно», ні «добре»?

80. Агенція оцінює стан кредиту, що визначає кре­дит особи як «відмінний», «добрий», «задовільний» і «поганий». Ймовірність того, що особа отримає відмінний рейтинг — 0,3, добрий — 0,35, задовільний — 0,25. Яка ймовірність того, що особа:

а) не матиме відмінного рейтингу?

б) не буде мати ні доброго, ні відмінного рейтингу?

в) матиме не більше, ніж добрий рейтинг?

81. Студент прийшов на екзамен, підготувавши лише 50 із 80 питань програми. Екзаменатор задав три питання. Знайти ймовірність, що студент знає відповіді на всі ці питання.

82. У групі 20 хлопців і 5 дівчат. Потрібно обрати двох делегатів на профспілковуконференцію. Яка ймовірність того, що:

а) виберуть двох хлопців;

б) виберуть двох дівчат;

в) виберуть хлопця і дівчину, якщо цей вибір випадковий?

83. Студент прийшов на залік, знаючи тільки 27 питання із 36. Екзаменатор задає одне питання. Яка ймовірність здати залік, якщо після відмови відповісти на питання викладач задає ще одне питання?

84. Ймовірність того що в електричному ланцюгу напруга перевищить номінальне значення дорівнює 0,1.При підвищенні напруги ймовірність виходу з ладу приладу дорівнює 0,01.Знайти ймовірність виходу з ладу приладу.

85. Ймовірність того, що ціна окремої акції зростатиме протягом ді­лового дня дорівнює 0,4. Якщо природа зміни ціни будь-якого дня є незалежною від того, що сталося попереднього дня (днів), то яка ймовірність того, що ціна буде:

а) зростати чотири дні підряд?

б) залишиться такою ж чи спадатиме три дні підряд?

в) зростатиме два з трьох днів?

86. Ймовірність того, що буде зроблена бракована деталь, дорівнює 0,12. Якщо процес характеризується статистичною незалежністю, то яка ймовірність, що:

а) дві деталі вироблені послідовно, не будуть бракованими?

б) перших три деталі не будуть бракованими, а четверта — буде бракованою?

в) 5 деталей, вироблених одна за одною, не будуть бракованими?

87. Ймовірність появи деякої випадкової події у першому випробуванні дорівнює 0,9 у другому - 0,8, у третьому - 0,7, у четвертому – 0,6. Яка ймовірність того, що при чотирьох випробуваннях подія з'явиться принаймні один раз?

88. Із п’яти карток А, Б, В, Г, Д, навмання одна за одною вибираються три і розставляються в порядку появи. Яка ймовірність того, що утвориться слово «ДВА».

89. Ймовірність того, що покупець, зайшовши у певний магазин, придбає що-небудь - 0,4. Якщо двоє покупців заходять до мага­зину, то яка ймовірність того, що:

а) вони обоє що-небудь куплять?

б) жоден не зробить покупки?

в) один із двох точно зробить покупку?

90 Два стрільці, для яких ймовірності влучення в мішень дорівнює відповідно 0,75 і 0,85, роблять по одному пострілу .

Знайти ймовірність того, що: а) обидва стрільці влучать в мішень; б) жодний із стрільців не влучить в мішень; в) хоча б один із стрільців влучив в мішень; г) лише один із стрільців влучить в мішень.

91. В механізм входять три однакові деталі. Робота механізму порушиться, якщо при його збиранні будуть встановлені всі три деталі розміру більшого, ніж вказано на кресленні. У складальника 5 із 12 мають більший розмір. Знайти ймовірність: а) ненормальної та б) нормальної роботи зібраного із цих деталей механізму, якщо складальник бере деталі навмання.

92. Із колоди карт (36 штук) дістають навмання дві. Яка ймовірність того, що це десятка і туз?

93. Стрілець вистрілив тричі по цілі, яка віддаляється. Ймовірність влучання в неї на початку стрільби дорівнює 0,8, а після кожного пострілу зменшується на 0,1. Знайти ймовірність того, що стрілець влучить хоча б один раз.

94. Робітник обслуговує три верстати. Ймовірність того, що на протязі однієї години перший верстат не потребує уваги робітника дорівнює 0,4; другий - 0,5; третій - 0,7. Знайти ймовірність того, що на протязі

однієї години рівно один верстат не потребує уваги робітника.

95. Для деякої місцевості в липні 7 похмурих днів. Знайти ймовірність того, 1-го і 2-го липня буде ясна погода?

96. Три прилади працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший прилад буде протягом години працювати без порушень в роботі, дорівнює 0,85 , другий – 0,9 , третій – 0,75. Яка ймовірність того, що протягом години будуть:

а) порушення в роботі лише одного верстата;

б)порушення в роботі двох верстатів;

в) порушення в роботі трьох верстатів;

г) порушення в роботі хоча б одного із верстатів?

97. Серед 25 екзаменаційних білетів є 10 «щасливих». Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність взяти «щасливий» білет: у того хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

98. Два верстати працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший станок буде протягом години працювати без порушень в роботі, дорівнює 0,65 , другий – 0,95. Яка ймовірність того, що протягом години будуть:

а) порушення в роботі лише одного верстата;

б) порушення в роботі двох верстатів;

в) порушення в роботі хоча б одного із верстатів?

99. Два стрільці ,для яких ймовірності влучення в мішень дорівнює відповідно 0,75 і 0,85, роблять по одному пострілу .

Знайти ймовірність того, що: а) обидва стрільці влучать в мішень; б) жодний із стрільців не влучить в мішень; в) хоча б один із стрільців влучив в мішень; г) лише один із стрільців влучить в мішень.

100. У кожному з трьох ящиків лежить по 10 деталей, у першому ящику 2 браковані , у другому – 3, у третьому - 4. З кожного ящика беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того ,що : а) всі 3 деталі браковані; б) всі 3 деталі стандартні ; в) серед трьох деталей є одна стандартна .

101. У групі спортсменів є 20 лижників, 6 велосипедистів і 4 легко­ атлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму для лижни­ ка — 0,96, для велосипедиста — 0,8, для легкоатлета — 0,75. Знайти ймовірність того, що взятий навмання спортсмен виконає кваліфікаційну норму.

102. У трьох урнах лежать білі і чорні кулі.У першій урні лежить 8 білих і 1 чорна , у другій - 5 білих і 7 чорних , у третій- 7 білих і 3 чорних. З навмання взятої урни виймають одну кулю.

Знайти ймовірність того, що вона біла.

103. Є дві урни : в першій знаходиться 3 білі і 2 чорні кулі, у другій – 4 білі і 4 чорні кулі. Із першої урни у другу дві кулі невідомого кольору. Після цього із другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

104. Для участі в студентських спортивних змаганнях виділено із першої групи 14, із другої – 9, із третьої – 7 студентів. Ймовірності того, що студент першої, другої та третьої груп попаде в збірну курсу, дорівнюють відповідно 0,85; 0,75; 0,8. Навмання вибраний студент за результатами змагань попав у збірну курсу. До якої групи найбільш ймовірно належить студент?

105. Деталі виробляються на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу в 4 рази перевищує об’єм продукції першого. Доля браку на першому заводі 0,01, на другому – 0,02. Навмання взята деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона випущена на другому заводі?

106. Відомо, що 5% чоловіків і 0,3% жінок – дальтоніки. Навмання обрана особа – дальтонік. Яка ймовірність того, що це чоловік. (Вважати що чоловіків і жінок однакова кількість.)

107. У збиральний цех надходить 50% деталей з першого цеху, 25% - з другого, 15% - з третього ,10% - з четвертого. Серед деталей з першого цеху бракованими є 0,15% ,з другого – 0,25%, з третього – 0,2%, з четвертого - 0,6%. Визначити ймовірність того , що взята навмання деталь буде бракованою.

108. У групі спортсменів 15 лижників, 9 велосипедистів, 6 бігуни. Ймовірність виконати кваліфіковану норму така: для лижників 0,8, для велосипедиста 0,75 , для бігуна 0,7. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен виконує норму.

109. В даний район вироби поставляються трьома фірмами у

співвідношенні 5 : 4 : 3. Серед продукції першої фірми стандартних – 80%, другої – 90%, третьої -70%. Покупцем придбано один виріб, який являється стандартним. Знайти ймовірність того, що він постачався першою фірмою.

110. Кількість вантажних авто на даному підприємстві вдвічі перевищує кількість легкових. Дизельні двигуни мають 60% вантажних авто та 20% легкових авто. Яка ймовірність того, що навмання вибраний автомобіль матиме дизельний двигун?

111. У цеху працює 25 верстатів. Із них 14 марки А, 6 марки В, 5 марки С. Ймовірність того, що вироблена деталь відповідає стандарту, для цих верстатів відповідно дорівнює 0,85, 0,8, 0,6. Який відсоток стандартних деталей випускає цех в цілому?

112. На заводі по виготовленню болтів перший станок виробляє 25%, другий – 35%, третій - 40% всіх болтів. В їх продукції брак складає відповідно 3%, 2%, 4%.. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний болт не є бракованим?

113. Є 30 одиниці продукції в двох видів. Серед 10 одиниць продукції першого виду 5% браку, а серед 20 одиниць другого виду 10% браку. Навмання вибрана одиниця продукції виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона другого виду?

114. Із 1000 ламп 620 належать першій партії, 190 – другій, а решта третій. В першій партії 8%, в другій – 5%, в третій – 6% бракованих ламп. Яка ймовірність того, що навмання вибрана лампа буде бракованою?

115. На деякому підприємстві перша машина виробляє 15 %, друга – 45%,третя 40%, всіх деталей. В їх продукції браку, відповідно 8, 6, 3 %.Яка ймовірність того що випадково вибрана дефектна?

116. Виріб перевіряється на стандартність одним із двох контролерів. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого контролера рівна 0,6, до другого – 0,4. Ймовірність того, що стандартний виріб буде визнано стандартним першим контролером, рівна 0,95, другим – 0,9. Стандартний виріб при перевірці визнано стандартним. Знайти ймовірність того, що перевірка здійснювалась другим контролером .

117. В першій коробці знаходиться 8 білих та 6 чорних кульки, в другій - 4 білих та 10 чорних. З першої коробки в другу переклали навмання 2 кульки. Після чого, з другої коробки виймають одну кульку. Знайдіть ймовірність того, що вона біла.

118. В двох коробках , знаходиться по 20 деталей , з них стандартних: в першій-16, в другій-12. З першої коробки навмання вибрано 1 деталь та перекладено в другу. Навмання вибрана після цього деталь з другої коробки виявилась стандартною. Найти ймовірність того, що перекладено нестандартну деталь.

119. Електронний вузол складають з мікросхем двох видів, у кількості 6 та 9 штук відповідно. Ймовірність відмови мікросхеми першого виду – 0,03, другого виду – 0,04. Вузол перестав функціонувати внаслідок відмови однієї мікросхеми. Яка ймовірність того, що відмовила мікросхема першого виду?

120. В першій коробці знаходиться 8 білих та 5 чорних кульок, в другій 4 білі та 9 чорних. З першої коробки переклали навмання в другу одну кульку. Після чого, з другої коробки навмання вийняли одну кульку. Яка ймовірність того, що вона чорна?

121. В продаж надходять телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 9% телевізорів з прихованим дефектом, другого – 8%, третього – 4%. Магазин одержав 20% телевізорів з першого заводу, 55% - з другого, 25% -з третього. Придбаний телевізор виявився справним. Знайти ймовірність того, що його виготовлено 1-м заводом?

122. На заводі виробляються автомобілі. Перший цех виробляє 20%, другий - 35%, третій - 45% усієї продукції. Брак цих цехів становить відповідно 5%, 3% і 2%. Навмання взятий автомобіль виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його вироблено першим цехом?

123. Вивчаються результати екзамену з теорії ймовірності у двох групах. У першій групі є 23 студентів, з них 7 отримали відмінну оцінку, а в другій відповідно — 20 і 3. Яка ймовірність, що навмання вибраний студент отримав на екзамені відмінну оцінку?

124. На склад надходять вироби з чотирьох заводів: 10% - із заводу №1, 20% - із заводу №2, 40% - із заводу №3, 30% - із заводу №4. Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу №1 - 5%, заводу №2 - 6%, заводу №3 - 7% і заводу №4 - 2%. Навмання взятий виріб зі складу виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його виготовив завод №2?

125. У 1- му ящику маємо 18 стандартних і 12 бракованих деталі, а у 2- му — 9 стандартних і 5 бракованих. Ящики мають однаковий зовнішній вигляд. З навмання вибраного ящика взято (також навмання) дві деталі, які виявилися стандартними. Яка ймовірність того, що їх взяли з 2- го ящика?

126. Митний пост дає статистичну оцінку того, що 15% усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларує весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрати 6 осіб, то яка ймовірність того, що 2 з них не задекларували весь товар?

127. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,8. Знайти ймовірність того, що : а) з 10 насінин зійде 6.

128. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,9. Знайти ймовірність того, що : а) з 8 насінин зійде 6.

129. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,7. Знайти ймовірність того, що : а) з 9 насінин зійде 5.

130. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові спортивні автомобІлі, вирішив продати пробну партію з 10-ти таких автомобілів. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної машини оцінена в 0,7 і вважається успіхом, якщо за день їх буде продано не менше шести. Яка ймовірність успіху, якщо протягом дня продаж машин відбувається незалежно?

131. Було встановлено, що 65% сімей міста мають кабельне

телебачення. Яка ймовірність, що з 10 сімей 6 мають кабельне телебачення? Не більше ніж 6?

132. Ймовірність браку виробництва складає 20%. Яке буде

найімові­рніше значення браку для 400 виготовлених деталей?

133. Служба податків визначила, що 60% всіх особистих декларацій про прибуток містить принаймні одну помилку. Якщо випадково

відібрати 10 декларацій, то яка ймовірність того, що рівно 7 із них будуть містити принаймні одну помилку?

134. Монету підкидають 7 разів. Яка ймовірність одержання рівно чо­тири рази «герба»?

135. Керівництво застави зібрало дані, які вказують, що 75% машин, які прибувають на прикордонну заставу, - це легкові автомобілі. Якщо до в'їзду прибуло 10 машин, то яка ймовірність того, що 8 з них будуть легкові? від 4 до 8?

136. Тест складається з 15 питань «правильно-неправильно». Знайдіть ймовірність, що студент, який знає 10 правильних відповідей, але

вгадує відповіді, що залишилися, методом кидання монети, набе­ре 70% чи більше правильних відповідей на тестуванні.

137. Монету підкинуто 6 разів. Яка ймовірність того, що точно випаде 2 «решки»? 5 «решок»?

138. Монету підкидають 8 разів. Яке найімовірніше число «решок»?

139. У вузі 60% студентів отримує деякий вид стипендії. Якщо для

пе­ревірки випадково відібрано 10 студентів, то яка ймовірність того, що більше ніж 7 студентів мають стипендію? Яке найімовірні­ ше число студентів мають стипендію?

140. Банк видає кредитні картки VISA. Було вста­новлено, що 40% усіх рахунків оплачуються повністю за їх допо­могою. З попереднього року вибрали навмання 8 рахунків. Яка ймовірність, що 5 з них оплачені за допомогою карток VISA? Не більше чотирьох?

141. Скільки чисел необхідно взяти з таблиці 100 випадкових чисел, щоб з найбільшою ймовірністю забезпечити серед них появу двох чисел, що закінчуються цифрою 9?

142. Обслідуванням визначили, що 85% усіх родин мають принаймні один телевізор. Яка ймовірність того, що з шести родин 5 бу­дуть мати телевізор?

143. Встановлено, що 85% висіяних у ґрунт зерен насіння огірків проростає. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть, якщо в пакеті 80 зернин.

144. Жереб незалежно тягнуть 5 осіб, повертаючи його назад. Якщо ймовірність його витягнути — 0,7, то яка ймовірність, що його витягнуть рівно 3 особи? Менше двох?

145. Ймовірність виграшу на кожен з лотерейних білетів дорівнює 0,025. Розрахувати ймовірності хоча б одного виграшу на 10 білетів.

146. Дослідженнями було встановлено, що в усіх дорожніх пригодах, що закінчилися фатально, у 75% випадків принаймні один з водіїв перебував у нетверезому стані. Нехай взято 5 аварій, зроблені водіями у нетверезому стані. Яка ймовірність, що одна з них закінчилася фатально?

147. Для баскетболіста ймовірність влучити в корзину при одному кидку дорівнює 0,6. Зроблено 10 кидків. Знайти найімовірніше число попадань і відповідну ймовірність.

148. Ймовірність появи події А в одному випробуванні на 40% більша від числа 0,5. Знайти найбільш ймовірне число появи події А та ймовірність цього числа, якщо проведено 4 випробувань.

149. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові автомобілі, вирішив продати пробну партію з десяти таких автомашин. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної машини оцінена в 0,8. Яка ймовірність отримати високий прибуток за рахунок про­дажу не більше трьох автомашин?

150. Прилад складається з шести елементів, ймовірність несправності кожного з них дорівнює 1/8. Визначити ймовірність того, що чис­ло несправних елементів більше 3.

151. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,9. Знайти ймовірність того, що з 200 насінин зійде 150.

152. Унаслідок маркетингових досліджень встановлено, що ймовір­ність реалізації одиниці продукції дорівнює 0,9. Знайти ймовір­ність реалізації не менше 80% із шести одиниць продукції.

153. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота насінин, які зійдуть, відхилиться по абсолютній величині від її ймовірності на величину, не більше за ε = 0,01 при 200_.

154. Керівник пожежної команди зібрав статистичні дані про кількість принаймні одного фальшивого виклику в день за попередні 360 днів. Якщо ймовірність принаймні одного фальшивого виклику в день дорівнює 1/6, то визначте ймовірність того, що таких днів було:

а) не більше, ніж 25; б) знаходилося в межах від 20 до 35.

155. За один цикл автомат виготовляє 10 деталей. За яку кількість ци­клів ймовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менша за 0,8? Вважати, що ймовірність бути бракованою для будь-якої деталі дорівнює 0,01.

156. Ймовірність попадання в десятку при одному пострілі р=0,2. Скільки потрібно провести незалежних пострілів, щоб з ймовірні­стю не менше ніж 0,8 влучити в десятку хоча б один раз?

157. Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р=0,9. Знайти ймовірність того, що з 200 насінин зійде від 150 до 170.

158. Для забезпечення нормальної роботи банку потрібно, щоб справними були не менше ніж 80% із наявних 50 комп'ютерів. Яка ймо­вірність нормальної роботи банку, якщо ймовірність вийти з ладу для кожного з комп'ютерів дорівнює 1/9?

159. Ймовірність появи події А в кожному з 400 випробувань дорівнює р=0,9. Знайти ймовірність появи події А: а) 362 рази; б) не менше 354 і не більше 386 разів.

160. Проведено 100 незалежних випробувань з ймовірністю появи по­ дії А в кожному з них 0,6. Знайти межі, в яких буде знаходитися відносна частота появи події А з ймовірністю 0,954.

161.Ймовірність своєчасної реалізації одиниці продукції дорівнює 0,8. Визначити ймовірність своєчасної реалізації не менше ніж 310 одиниць продукції із 400, що поступили на реалізацію.

162. Ймовірність несплати податку для кожного із 400 підприємців дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що податки не сплатять не більше 37 підприємців?

163. За допомогою статистичних даних підраховано, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної особи дорівнює 0,1. Яка ймовірність, що зі 100 перевірених осіб хворими виявляться: а) рівно 20 осіб? б) від 20 до 50 осіб?

164.Виробник детекторів брехні вима­гає, щоб вони могли розрізняти правильні відповіді від неправи­льних з надійністю 80%. Детектори тестують, використовуючи 50 запитань. Визначте:

а) найбільш ймовірне число правильно визначених відповідей;

б) що їх буде не більше ніж 35;

в) від 20 до 35.

165. Яка ймовірність того, що серед 300 чоловік буде не менше чоти­рьох ліворуких, якщо вони в середньому складають 1% від за­гальної кількості.

166. З таблиці випадкових чисел виписані навмання 100 випадкових двоцифрових чисел (від 00 до 99). Визначити ймовірність того, що серед них число 33 трапляється: а) рівно три рази; б) менше 4- х разів.

167. Знайти ймовірність, що подія А наступить 20 разів у 200 незалежних випробуваннях, якщо подія А появляється в кожному випробуванні з ймовірністю 0,15.

168. У таблиці випадкових чисел цифри згруповані по дві (від 00 до 99). Обчислити ймовірність того, що серед 200 довільно вибраних пар пара 55 зустрінеться не більше трьох раз.

169. За допомогою статистичних даних підраховано, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної людини дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що з 300 перевірених осіб хворими виявляться:

а) рівно 70 осіб? б) від 60 до 100 осіб?

170. Яка ймовірність того, що серед 400 чоловік буде не менше шести ліворуких, якщо вони в середньому складають 1,25% від за­гальної кількості.

171. Ймовірність появи події А в кожному з 200 випробувань дорівнює р=0,75. Знайти ймовірність появи події А: а) 140 рази;

б) не менше 154 і не більше 186 разів.

172. Ймовірність попадання в десятку при одному пострілі р=0,3. Скільки потрібно провести незалежних пострілів, щоб з ймовірні­стю не менше ніж 0,95 влучити в десятку хоча б один раз?

173. Завод відправив на базу призначення 5000 моторів. Ймовірність пошкодження мотора в дорозі 0,0002. Знайти ймовірність того, що на базу прибуде 3 непридатних для використання мотори.

174. Завод відправив на базу призначення 1000 моторів. Ймовірність пошкодження мотора в дорозі 0,001. Знайти ймовірність того, що на базу прибуде 2 непридатних для використання мотори.

175. Ймовірність того, що деталь не пройшла перевірку відділу технічного контролю, дорівнює ρ = 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей виявляться неперевіреними від 70 до 100 деталей.

176. Два спортсмени роблять незалежно один від одного кожен в свою мішень, по 1-му пострілу. Ймовірність влучення в мішень для 1-го –0,8, для 2-го - 0,9. Розглядаються випадкові величини: Х₁-число, влучень першого спортсмена, Х₂- число влучень другого спортсмена та їх різниця Z= Х₁ - Х_2. Побудувати закон розподілу випадкової величини Z.

177. Завод відправив споживачу 1000 стандартних виробів. Ймовірність пошкодження виробу в дорозі оцінюється як 0,001.

Записати закон розподілу трьох пошкоджених у дорозі виробів.

178. Маємо n = 5 ламп, кожна з яких з ймовірністю р =0,8 має дефект, лампа вгвинчується в прилад і вмикається струм. При вмиканні струму дефектна лампа одразу виходить з ладу, після чого замінюється іншою. Розглядається випадкова величина Х – число випробуваних ламп. Побудувати її закон розподілу.

179. Маємо n = 4 лампи, кожна з яких з ймовірністю р =0,9 має дефект, лампа вгвинчується в прилад і вмикається струм. При вмиканні струму дефектна лампа одразу виходить з ладу, після чого замінюється іншою. Розглядається випадкова величина Х – число випробуваних ламп. Побудувати її закон розподілу.

180. Маємо n = 3 лампи, кожна з яких з ймовірністю р =0,7 має дефект, лампа вгвинчується в прилад і вмикається струм. При вмиканні струму дефектна лампа одразу виходить з ладу, після чого замінюється іншою. Розглядається випадкова величина Х – число випробуваних ламп. Побудувати її закон розподілу.

181. Випробовується пристрій, який складається з трьох незалежно працюючих приладів. Ймовірність відмови приладів р₁=0,3; р₂=0,6;р₃=0,4. Розглядається випадкова величина Х – число приладів, які вийшли з ладу. Побудувати її закон розподілу.

182. Керування у нетверезому стані. Дорожня міліція розробила про­граму перевірки тверезості водіїв. Автомашини вибираються на­вмання і перевіряється, чи не вжито водіями алкоголю. При виникненні підозри, призначається тест, який оцінює ступінь сп'яніння умовним числом від 0 до 8. У таблиці подано підсумки контролю.

Ступінь сп'яніння	0	1	2	3	4	5	6	7	8	Разом
К-сть водіїв	6	6	8	8	10	16	14	10	2	80

а) Побудуйте розподіл ймовірності для цього дослідження.

в) Яка ймовірність того, що серед тих, що підозрюються не буде виявлено жодного сп'янілого водія? Зі ступенем сп'яніння не ме­нше, ніж 5 ?

183. Побудуйте розподіл ймовірності дискретної випадкової величини при триразовому підкиданні монети. Нехай випадкова змінна X дорівнює кількості «решок», які випали під час трикратного під­

кидання. Яка ймовірність того, що «решка» буде два чи більше разів?

184. Побудуйте розподіл дискретних ймовірностей експерименту з підкиданням двох гральних костей разом один раз. Вважатимемо, що ймовірність випадання для кожної сторони однакова, а ви­падкова змінна X дорівнює сумі очок, що з'являються.

185. Статистика безробіття свідчить, що 8% працездатних людей є безробітними. Навмання вибрано троє людей. Якщо ви­падковою змінною є кількість осіб, що не мають роботи, то побу­дуйте ймовірнісний розподіл для трьох осіб і визначте ймовір­ність того, що:

а) жоден з трьох не є безробітним;

б) двоє чи більше з трьох мають роботу.

186. В сукупності з 10 виробів 7 стандартних. Навмання вибирають 4 вироби, причому без повернення. Х – число стандартних виробів серед вибраних. Побудувати закон розподілу випадкової величини.

187. Ймовірність попадання в піль при одному пострілі дорівнює 0,9. Роблять 5 пострілів. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини X - кількості попадань в ціль.

188. Ймовірність проростання пшениці дорівнює 0,6. Навмання взято 4 зерна. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X - кількості пророслих зерен.

189. Студенти оцінюють ймовірність отримання оцінки «відмінно» в 0,3. Навмання вибирають 3 студенти. X - кількість студентів, що отримали оцінку «відмінно». Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

190. Пристрій складається з 4 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному досліді дорівнює 0,1. Х- кількість елементів, які відмовили в одному досліді. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

191. Масмо 4 заготовки для виготовлення деталей. Ймовірність одержання придатної деталі дорівнює 0,8 . Деталі виготовляються по черзі з кожної заготовки до тих пір поки не отримають стандартну, або не закінчаться заготовки. X - кількість заготовок, використаних для виробу деталей. Побудувати закон розподілу випадкової величини X.

192. Встановлено, що 40 % усіх сімей міста Житомира мають кабельне телебачення. Випадково відібрали 5 сімей. Х - кількість сімей з кабельним телебаченням. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

193. Гральна кістка підкидається 4 рази. Побудувати закон розподілу випадкової величини X - кількість випадань непарного числа очок.

193. Митний пост дає статистичну оцінку того, що 25 % усіх осіб, котрі повертаються з-за кордону, не декларують весь товар, на який накладається податок. Випадково відібрали 5 осіб. Х - кількість осіб, які не задекларували весь товар. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

194. У цеху є 5 станків. Ймовірність того, що працює кожен станок, дорівнює 0,9. Х - кількість працюючих станків. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

195. Три спортсмени приймають участь у вибіркових змаганнях. Ймовірність зарахування у збірну команду 1-го спортсмена 0,9, 2-го – 0,6, 3-го - 0,8. X - кількість спортсменів, яких зарахували у команду. Побудувати закон розподілу випадкової величини X.

196. Кожен із трьох робочих виконує певну роботу. Ймовірність того, що перший з них виконає денну норму, складає 0,5, другий – 0,8, третій – 0,9. Х - кількість робочих, які виконають денну норму. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

197. На шляху руху автомобіля 5 світлофорів, кожний з яких не дозволяє подальший рух з ймовірністю 0,7. Х - кількість зупинок на світлофорі автомобілем. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

198. У шухлядіє 6 стандартних і 3 браковані деталі. Навмання з шухляди беруть 4 деталі. X - кількість бракованих деталей. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

199. У коробці 4 білих і 6 чорних кульок. Навмання з коробки беруть 5 куль. X- кількість білих куль. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

200. Із колоди карт (36 штук) дістають навмання чотири. Х - кількість витягнутих тузів. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X.

201. Нехай випадкова величина має постійну щільність розподілу і задається так:

0, якщо x < 1,

f(x) = C, якщо 1 ≤ x ≤ 6,

1, якщо x > 6.

Bизначити постійну С.

202. Нехай випадкова величина має постійну щільність розподілу і задається так:

0, якщо x < -1,

f(x) = C, якщо -1 ≤ x ≤ 4,

1, якщо x > 4.

Bизначити постійну С.

В завданні 203—220 випадкова величина X задана інтегральною функцією розподілу F(x). Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), ймовірність попадання в інтервал (а, в). Побудувати графіки інтегральної та диференціальної функції розподілу.

0 при х ≤ 2,

203. F(x) = (х – 2)² при 2 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = 1, в = 2,5.

0 при х ≤ 2,

204. F(x) = (х – 2)³ при 2 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = 0, в = 2,5.

0 при х ≤ 2,

205. F(x) = х – 2 при 2 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = 2, в = 2,5.

0 при х ≤ 2,

206. F(x) = при 2 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = 2,5, в = 3,5.

0 при х ≤ 3,

207. F(x) = при 3 < х ≤ 4,

1 при х > 4.

а = 1, в = 3,5.

0 при х ≤ -2,

208. F(x) = при -2 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = -1, в = 2,5.

0 при х ≤ 0,

209. F(x) = при 0 < х ≤ 3,

1 при х > 3.

а = 1, в = 2.

0 при х ≤ -4,

210. F(x) = при -4 < х ≤ 1,

1 при х > 1.

а = -1, в = 2.

0 при х ≤ -6,

211. F(x) = при -6 < х ≤ -1,

1 при х > -1.

а = -3, в = 0.

0 при х ≤ -3,

212. F(x) = при -3 < х ≤ 2,

1 при х > 2.

а = 0, в = 2.

0 при х ≤ -1,

213. F(x) = при -1 < х ≤ 2,

1 при х > 2.

а = -2, в = 0.

0 при х ≤ -5,

214. F(x) = при -4 < х ≤ -1,

1 при х > -1.

а = -3, в = 2.

0 при х ≤ -6,

2 15. F(x) = при -6 < х ≤ -1,

1 при х > -1.

а = -5, в = 0.

0 при х ≤ 2,

216. F(x) = при 2 < х ≤ 7,

1 при х > 7.

а = -1, в = 5.

0 при х ≤ 4,

217. F(x) = при 4 < х ≤ 9,

1 при х > 9.

а = 0, в = 8.

0 при х ≤ 2,

218. F(x) = при 2 < х ≤ 5,

1 при х > 5.

а = 0, в = 3.

219. Неперервна випадкова величина Х розподілена за показниковим законом розподілу

0, якщо х < 0,

f(x) =

якщо х ≥ 0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випакова величина прийме значення з інтервалу (-1; 1).

220. Неперервна випадкова величина Х розподілена за показниковим законом розподілу

0, якщо х < 0,

f(x) =

якщо х ≥ 0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випакова величина прийме значення з інтервалу (-1; 1).

221. Розмір м’яча підпорядковується нормальному закону розподілу. Стандартний розмір м’яча (математичне сподівання) дорівнює 250мм, середнє квадратичне відхилення 5мм. Визначити ймовірність того, що розмір навмання взятого м’яча буде більше 240мм і менше 255мм;

222. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі (математичне сподівання) дорівнює 50мм, середнє квадратичне відхилення 4мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 49 і менше 54;

2) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартного не

більше ніж на 2мм.

223. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі (математичне сподівання) дорівнює 20мм, середнє квадратичне відхилення 3мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 17 і менше 22;

2) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартного не більше ніж на 1,5мм.

224. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі (математичне сподівання) дорівнює 15мм, середнє квадратичне відхилення 1мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 13 і менше 16;

2) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартного не більше ніж на 0,5мм.

225. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі (математичне сподівання) дорівнює 10мм, середнє квадратичне відхилення 2мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 9 і менше 12;

2) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартного не більше ніж на 1мм.

226. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-3	-2
Р	0,2	0,8

Y	1	3
Q	0,6	0,4

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

227. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-3	-2
Р	0,2	0,8

Y	1	3	5
Q	0,3	0,4	0,3

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

228. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-3	-2	0
Р	0,2	0,5	0,3

Y	1	3
Q	0,6	0,4

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

229. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-3	-2	-1
Р	0,4	0,3	0,3

Y	1	3	5
Q	0,1	0,4	0,5

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

230. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-3	-1
Р	0,5	0,5

Y	1	2	4
Q	0,5	0,4	0,1

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

231. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-5	-3	-1
Р	0,2	0,5	0,3

Y	2	5
Q	0,3	0,7

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

232. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-4	-2	0
Р	0,2	0,7	0,1

Y	-3	-1	1
Q	0,3	0,45	0,25

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

233. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	0	2	5
Р	0,2	0,35	0,45

Y	-1	3
Q	0,8	0,2

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

234. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-2	2	6
р	0,3	0,4	0,3

Знайти розподіл функції У = X².

235. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-1	1	3
р	0,4	0,3	0,3

Знайти розподіл функції У = X³.

236. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-2	1	4
р	0,2	0,45	0,35

Знайти розподіл функції У = X³.

237. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	0	3	6
р	0,1	0,7	0,2

Знайти розподіл функції У = X².

238. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-2	0	2
р	0,6	0,35	0,05

Знайти розподіл функції У = X³.

239. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	0	1	2
р	0,5	0,2	0,3

Знайти розподіл функції У = X⁴.

240. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-1	1	3	5
р	0,1	0,4	0,3	0,2

Знайти розподіл функції У = X².

241. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	0	2	5
р	0,1	0,8	0,1

Знайти розподіл функції У = X³.

242. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	-1	0	1
р	0,3	0,4	0,3

Знайти розподіл функції У = X⁴.

243. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	1	4	7
р	0,6	0,15	0,25

Знайти розподіл функції У = X².

244. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х	0	1	2	3
р	0,2	0,25	0,35	0,2

Знайти розподіл функції У = X².

245. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = х² - 2.

246. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = х³.

247. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = 3х².

248. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = х² - 1.

249. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = 2х² - 1.

250. Випадкова величина Х має нормований нормальний закон розподілу. Знайти розподіл функції У = 2х² - 3.

251. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х, що задана таким законом розподілу:

Х	5	10	15
р	0,5	0,3	0,2

252. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х, що задана законом розподілу:

Х	0	10	20
р	0,4	0,35	0,25

253. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 178.

254. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 179.

255. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 180.

256. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 181.

257. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 182.

258. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 183.

259. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 184.

260. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 185.

261. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 211.

262. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 212.

263. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 213.

264. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 214.

265. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 215.

266. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 216.

267. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 217.

268. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 218.

269. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 219.

270. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 220.

271. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 196.

272. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 197.

273. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 198.

274. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 199.

275. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х із задачі 200.

276. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1/3, 0 ≤ у ≤ 1/3}.

277. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1/4, 0 ≤ у ≤ 1/4}.

278. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {1 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 1}.

279. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {1 ≤ х ≤ 2, 1 ≤ у ≤ 2}.

280. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

281. Знайти коефіцієнти коваріації та кореляції для двовимірної дискретної випадкової величини, що задана таблично:

Y	X
	20	25	30	35	40	Р(у)
100	0,01	0,03	0,02	0,03	0,01	0,1
110	0,03	0,09	0,06	0,09	0,03	0,3
120	0,02	0,06	0,04	0,06	0,02	0,2
130	0,03	0,09	0,06	0,09	0,03	0,3
140	0,01	0,03	0,02	0,03	0,01	0,1
Р(х)	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1	1

282. Знайти коефіцієнти коваріації та кореляції для двовимірної дискретної випадкової величини, що задана таблично:

Y	X
	20	25	30	35	40	Р(у)
5	0,02	0,04	0,06	0,05	0,03	0,2
10	0,055	0,1	0,12	0,15	0,08	0,5
15	0,03	0,16	0,02	0,05	0,04	0,3
Р(х)	0,1	0,3	0,2	0,25	0,15	1

283. Знайти коефіцієнти коваріації та кореляції для двовимірної дискретної випадкової величини, що задана таблично:

Y	X
	2	4	6	8	10	Р(у)
20	0,13	0,09	0,04	0,06	0,03	0,35
40	0,04	0,17	0,04	0,06	0,04	0,35
60	0,03	0,09	0,12	0,03	0,03	0,3
Р(х)	0,2	0,35	0,2	0,15	0,1	1

284. Знайти коефіцієнти коваріації та кореляції для двовимірної дискретної випадкової величини, що задана таблично:

Y	Х
	2	4	6	10	Р(у)
-5	0,13	0,1	0,04	0,03	0,3
15	0,04	0,15	0,14	0,07	0,4
35	0,08	0,05	0,12	0,05	0,3
Р(х)	0,25	0,3	0,3	0,15	1

285. Знайти коефіцієнти коваріації та кореляції для двовимірної дискретної випадкової величини, що задана таблично:

Y	Х
	0	5	10	15	Р(у)
-25	0,11	0,09	0,05	0,05	0,3
-15	0,1	0,15	0,14	0,11	0,5
-5	0,09	0,06	0,01	0,04	0,2
Р(х)	0,3	0,3	0,2	0,2	1

286. Знайти умовне математичне сподівання та задачі 281.

287. Знайти умовне математичне сподівання та задачі 282.

288. Знайти умовне математичне сподівання та задачі 283.

289. Знайти умовне математичне сподівання та задачі 284.

290. Знайти умовне математичне сподівання та задачі 285.

291. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

292. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

293. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

294. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

295. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 1 ≤ у ≤ 2}.

296. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x² + y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1/2, 0 ≤ у ≤ 1/2}.

297. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x² - y, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 3, 0 ≤ у ≤ 3} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {1 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 1}.

298. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x² + y², якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {1 ≤ х ≤ 2, 1 ≤ у ≤ 2}.

299. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x²∙у, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 2} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1}.

300. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x,y) = x∙у³, якщо (х,у) D = {0 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1} і f(x,y) = 0 у протилежному випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат D₁ = {0 ≤ х ≤ 1/2, 0 ≤ у ≤ 1/2}.

301. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює 0,25. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 20 до 30, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

302. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює 0,35. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 25 до 40, якщо буде проведено 1000 незалежних випробовувань.

303. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює 0,6. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 50 до 65, якщо буде проведено 200 незалежних випробовувань.

304. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює 0,55. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 50 до 60, якщо буде проведено 300 незалежних випробовувань.

305. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює 0,4. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 35 до 50, якщо буде проведено 500 незалежних випробовувань.

306. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р =1/3. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній величині не більше чим на 0,01, якщо буде проведено n=9000 випробувань.

307. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р =1/4. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній величині не більше чим на 0,02, якщо буде проведено n=8000 випробувань.

308. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р =1/5. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній величині не більше чим на 0,03, якщо буде проведено n=7000 випробувань.

309. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р =1/2. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній величині не більше чим на 0,04, якщо буде проведено n=5000 випробувань.

310. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р =0,6. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній величині не більше чим на 0,05, якщо буде проведено n=10000 випробувань.

311. Дисперсія кожної з 5500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 4. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,03.

312. Дисперсія кожної з 5000 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,01.

313. Дисперсія кожної з 10000 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 6. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,05.

314. Дисперсія кожної з 8000 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,04.

315. Дисперсія кожної з 7000 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 7. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,06.

316. Послідовність незалежних випадкових величин ₁, ₂ ,…, _n,… задана законом розподілу

_n - 0

p .

Чи можна застосувати до заданної послідовності теорему Чебишева?

317. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що |Х-M(Х)|<0,08 якщо D(X) =0,02

318. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що |Х-M(Х)| < 0,09 якщо D(X) =0,015.

319. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що |Х-M(Х)| < 0,11 якщо D(X) =0,015.

320. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що |Х-M(Х)|<0,05 якщо D(X) =0,005.

321. Дано: < ε) > 0,8; D= 0,004. Використовуючи нерівність Чебишева, знайти ε.

322. Дано: < ε) > 0,8; D= 0,004. Використовуючи нерівність Чебишева, знайти ε.

323. Дано: < ε) > 0,8; D= 0,004. Використовуючи нерівність Чебишева, знайти ε.

324. Дано: < ε) > 0,8; D= 0,004. Використовуючи нерівність Чебишева, знайти ε.

325. Дано: < ε) > 0,8; D= 0,004. Використовуючи нерівність Чебишева, знайти ε.

326. Множина станів студентів деякого середнього навчального закладу з трирічним терміном навчання на початок навчального року наступна:

S₁ - першокурсник, S₂ - другокурсник, S₃ - випускник, S₄ - спеціалісти, які закінчили навчання, S₅ - особи, які навчалися в даному навчальному закладі, але його не закінчили. Скласти матрицю переходів з одного стану в інший, вважаючи, що відраховані не можуть бути поновленими.

327. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(2).

328. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(3).

329. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(3).

330. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(3).

331. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(4).

332. . Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(4).

333. . Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(4).

334. . Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(5).

В задачах 335 -350 дано , що:

телефонна станція може обслуговувати виклики n абонентів;

потік вимог , що поступають на станцію є простішим із середнім числом λ викликів у хвилину;

тривалість телефонних розмов випадкова величина, що підпорядкована показниковому розподілу параметрів ν.

Потрібно визначити:

1) при якому значенні n ймовірність того, що всі лінії зв’язку зайняті не перевищує заданого числа ε;

2) математичне сподівання числа зайнятих ліній при знайденому n;

3) ймовірність того, що буде зайнято не менше m ліній.

335. λ = 3, ν = 3, ε = 0,003, m = 2.

336. λ = 4, ν = 5, ε = 0,003, m = 3.

337. λ = 5, ν = 4, ε = 0,005, m = 4.

338. λ = 4, ν = 6, ε = 0,004, m = 3.

339. λ = 6, ν = 4, ε = 0,005, m = 4.

340. λ = 4, ν = 5, ε = 0,006, m = 3.

341. λ = 5, ν = 5, ε = 0,005, m = 4.

342. λ = 4, ν = 2, ε = 0,002, m = 3.

343. λ = 6, ν = 6, ε = 0,006, m = 4.

344. λ = 6, ν = 3, ε = 0,005, m = 2.

345. λ = 2, ν = 2, ε = 0,002, m = 2.

346. λ = 4, ν = 4, ε = 0,008, m = 2.

347. λ = 6, ν = 5, ε = 0,004, m = 3.

348. λ = 5, ν = 6, ε = 0,006, m = 4.

349. λ = 7, ν = 7, ε = 0,007, m = 3.

350. λ = 5, ν = 2, ε = 0,002, m = 3.

Додаток 1

Таблиця значень функції

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3652	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2020
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1894	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0040	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Додаток 2

Таблиця значень функції

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00	0,0000	0,52	0,1985	1,04	0,3508	1,56	0,4406	2,08	0,4812	2,60	0,4953
0,01	0,0040	0,53	0,2019	1,05	0,3531	1,57	0,4418	2,09	0,4817	2,61	0,4955
0,02	0,0080	0,54	0,2054	1,06	0,3554	1,58	0,4429	2,10	0,4821	2,62	0,4956
0,03	0,0120	0,55	0,2088	1,07	0,3577	1,59	0,4441	2,11	0,4826	2,63	0,4958
0,04	0,0160	0,56	0,2123	1,08	0,3599	1,60	0,4452	2,12	0,4830	2,64	0,4959
0,05	0,0199	0,57	0,2157	1,09	0,3621	1,61	0,4463	2,13	0,4834	2,65	0,4960
0,06	0,0239	0,58	0,2190	1,10	0,3643	1,62	0,4474	2,14	0,4838	2,66	0,4961
0,07	0,0279	0,59	0,2224	1,11	0,3665	1,63	0,4484	2,15	0,4842	2,67	0,4962
0,08	0,0319	0,60	0,2257	1,12	0,3686	1,64	0,4495	2,16	0,4846	2,68	0,4963
0,09	0,0359	0,61	0,2291	1,13	0,3708	1,65	0,4505	2,17	0,4850	2,69	0,4964
0,10	0,0398	0,62	0,2324	1,14	0,3729	1,66	0,4515	2,18	0,4854	2,70	0,4965
0,11	0,0438	0,63	0,2357	1,15	0,3749	1,67	0,4525	2,19	0,4858	2,71	0,4966
0,12	0,0478	0,64	0,2389	1,16	0,3770	1,68	0,4535	2,20	0,4861	2,72	0,4967
0,13	0,0517	0,65	0,2422	1,17	0,3790	1,69	0,4545	2,21	0,4865	2,73	0,4968
0,14	0,0557	0,66	0,2454	1,18	0,3810	1,70	0,4554	2,22	0,4868	2,74	0,4969
0,15	0,0596	0,67	0,2486	1,19	0,3830	1,71	0,4564	2,23	0,4872	2,75	0,4970
0,16	0,0636	0,68	0,2517	1,20	0,3849	1,72	0,4576	2,24	0,4875	2,76	0,4971
0,17	0,0675	0,69	0,2549	1,21	0,3869	1,73	0,4582	2,25	0,4878	2,77	0,4972
0,18	0,0714	0,70	0,2580	1,22	0,3883	1,74	0,4591	2,26	0,4881	2,78	0,4973
0,19	0,0753	0,71	0,2611	1,23	0,3907	1,75	0,4599	2,27	0,4884	2,79	0,4974
0,20	0,0793	0,72	0,2642	1,24	0,3925	1,76	0,4608	2,28	0,4887	2,80	0,4974
0,21	0,0832	0,73	0,2673	1,25	0,3944	1,77	0,4610	2,29	0,4890	2,81	0,4975
0,22	0,0871	0,74	0,2703	1,26	0,3962	1,78	0,4625	2,30	0,4893	2,82	0,4976
0,23	0,0910	0,75	0,2734	1,27	0,3980	1,79	0,4633	2,31	0,4896	2,83	0,4977
0,24	0,0948	0,76	0,2764	1,28	0,3997	1,80	0,4641	2,32	0,4898	2,84	0,4977
0,25	0,0987	0,77	0,2794	1,29	0,4015	1,81	0,4649	2,33	0,4901	2,85	0,4978
0,26	0,1026	0,78	0,2823	1,30	0,4032	1,82	0,4656	2,34	0,4904	2,86	0,4979
0,27	0,1064	0,79	0,2852	1,31	0,4049	1,83	0,4664	2,35	0,4907	2,87	0,4980
0,28	0,1103	0,80	0,2881	1,32	0,4066	1,84	0,4671	2,36	0,4909	2,88	0,4980
0,29	0,1141	0,81	0,2910	1,33	0,4082	1,85	0,4678	2,37	0,4911	2,89	0,4981
0,30	0,1179	0,82	0,2939	1,34	0,4099	1,86	0,4686	2,38	0,4913	2,90	0,4981
0,31	0,1217	0,83	0,2967	1,35	0,4115	1,87	0,4693	2,39	0,4916	2,91	0,4982
0,32	0,1255	0,84	0,2995	1,36	0,4131	1,88	0,4699	2,40	0,4918	2,92	0,4982
0,33	0,1293	0,85	0,3023	1,37	0,4147	1,89	0,4706	2,41	0,4920	2,93	0,4983
0,34	0,1331	0,86	0,3051	1,38	0,4162	1,90	0,4713	2,42	0,4922	2,94	0,4984
0,35	0,1368	0,87	0,3078	1,39	0,4177	1,91	0,4719	2,43	0,4925	2,95	0,4985
0,36	0,1406	0,88	0,3106	1,40	0,4192	1,92	0,4726	2,44	0,4927	2,96	0,4985
0,37	0,1443	0,89	0,3133	1,41	0,4207	1,93	0,4732	2,45	0,4929	2,97	0,4986
0,38	0,1480	0,90	0,3159	1,42	0,4222	1,94	0,4738	2,46	0,4931	2,98	0,4986
0,39	0,1517	0,91	0,3186	1,43	0,4236	1,95	0,4743	2,47	0,4933	2,99	0,4986
0,40	0,1554	0,92	0,3212	1,44	0,4251	1,96	0,4750	2,48	0,4934	3,00	0,49865
0,41	0,1591	0,93	0,3238	1,45	0,4265	1,97	0,4756	2,49	0,4936	3,20	0,49931
0,42	0,1628	0,94	0,3264	1,46	0,4279	1,98	0,4761	2,50	0,4938	3,40	0,49966
0,43	0,1664	0,95	0,3289	1,47	0,4292	1,99	0,4767	2,51	0,4940	3,60	0,499841
0,44	0,1700	0,96	0,3315	1,48	0,4306	2,00	0,4772	2,52	0,4941	3,80	0,499928
0,45	0,1736	0,97	0,3340	1,49	0,4319	2,01	0,4777	2,53	0,4943	4,00	0,499968
0,46	0,1772	0,98	0,3365	1,50	0,4332	2,02	0,4783	2,54	0,4945	4,50	0,499997
0,47	0,1808	0,99	0,3389	1,51	0,4345	2,03	0,4788	2,55	0,4947	5,00	0,499997
0,48	0,1844	1,00	0,3413	1,52	0,4357	2,04	0,4793	2,56	0,4948
0,49	0,1879	1,01	0,3438	1,53	0,4370	2,05	0,4798	2,57	0,4950
0,50	0,1915	1,02	0,3461	1,54	0,4382	2,06	0,4803	2,58	0,4951
0,51	0,1950	1,03	0,3485	1,55	0,4394	2,07	0,4808	2,59	0,4952

Додаток 3

Значення функції

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0	0,90484	0,81873	0,74082	0,67032	0,60653	0,54881	0,49659	0,44933	0,40657
1	0,09048	0,16375	0,22225	0,26813	0,30327	0,32929	0,34761	0,35946	0,36591
2	0,00452	0,01638	0,03334	0,05363	0,07582	0,09879	0,12166	0,14379	0,16466
3	0,00015	0,00109	0,00333	0,00715	0,01264	0,01976	0,02839	0,03834	0,04940
4			0,00025	0,00072	0,00158	0,00296	0,00497	0,00767	0,01112
5			0,00002	0,000006	0,00016	0,00036	0,00070	0,00123	0,00200
6					0,00001	0,00004	0,00008	0,00016	0,00030
7							0,00001	0,00002	0,0000

	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
0	0,36788	0,13534	0,04979	0,01832	0,00674
1	0,36788	0,27067	0,14936	0,07326	0,03369
2	0,18394	0,27067	0,22404	0,14653	0,08422
3	0,06131	0,18045	0,22404	0,19537	0,14037
4	0,01533	0,09022	0,16803	0,19537	0,17547
5	0,00307	0,03609	0,10082	0,15629	0,17547
6	0,00051	0,01203	0,05041	0,10419	0,14622
7	0,00007	0,00344	0,02160	0,05954	0,10445
8	0,00001	0,00086	0,00810	0,02977	0,06528
9		0,00019	0,00270	0,01323	0,03627
10		0,00004	0,00081	0,00529	0,01813
11		0,00001	0,00022	0,00193	0,00824
12			0,00006	0,00064	0,00343
13			0,00001	0,00020	0,00132
14				0,00006	0,00047
15				0,00002	0,00016
16					0,00005
17					0,00001

_{Додаток 4}

_{Таблиця значень tγ = t(γ,n)}

n	γ			n	γ
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	2,78	4,60	8,61	20	2,093	2,861	3,883
6	2,57	4,03	6,86	25	2,064	2,797	3,745
7	2,45	3,71	5,96	30	2,045	2,756	3,659
8	2,37	3,50	5,41	35	2,032	2,720	3,600
9	2,31	3,36	5,04	40	2,023	2,708	3,558
10	2,26	3,25	4,78	45	2,016	2,692	3,527
11	2,23	3,17	4,59	50	2,009	2,679	3,502
12	2,20	3,11	4,44	60	2,001	2,662	3,464
13	2,18	3,06	4,32	70	1,996	2,649	3,439
14	2,16	3,01	4,22	80	1,001	2,640	3,418
15	2,15	2,98	4,14	90	1,987	2,633	3,403
16	2,13	2,95	4,07	100	1,984	2,627	3,392
17	2,12	2,92	4,02	120	1,980	2,617	3,374
18	2,11	2,9	3,97		1,960	2,576	3,291
19	2,10	2,88	3,92

_{Додаток 5}

_{Таблиця значень q = q(γ,n)}

n	γ			n	γ
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	1,37	2,67	5,64	20	0,37	0,58	0,88
6	1,09	2,01	3,88	25	0,32	0,49	0,73
7	0,92	1,62	2,98	30	0,28	0,43	0,63
8	0,80	1,38	2,42	35	0,26	0,38	0,56
9	0,71	1,20	2,06	40	0,24	0,35	0,50
10	0,65	1,08	1,80	45	0,22	0,32	0,46
11	0,59	0,98	1,60	50	0,21	0,30	0,43
12	0,55	0,90	1,45	60	0,188	0,269	0,38
13	0,52	0,83	1,33	70	0,174	0,245	0,34
14	0,48	0,78	1,23	80	0,161	0,226	0,31
15	0,46	0,73	1,15	90	0,151	0,211	0,29
16	0,44	0,70	1,07	100	0,143	0,198	0,27
17	0,42	0,66	1,01	150	0,115	0,160	0,211
18	0,40	0,63	0,96	200	0,099	0,136	0,185
19	0,39	0,60	0,92	250	0,089	0,120	0,162

Додаток 6

Критичні точки розподілу χ²

Число степенів волі,k	Рівень значимості ά
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,0098	0,00016
2	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	2,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

Додаток 7

Критичні точки розподілу Стьюдента

Число ступенів волі, k	Рівень значимості ά (двохстороння критична область)
	0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637,0
2	2,92	4,30	6,97	9,92	22,33	31,6
3	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
5	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,94	2,45	3,14	371	5,21	5,96
7	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,40
8	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
9	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
10	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,80	2,20	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
16	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,96
18	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,71	2,07	2,50	2,81	3,49	3,77
24	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,74
25	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
29	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
30	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
60	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
120	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29

Додаток 8

Критичні точки розподілу F Фішера – Снедокора

(k₁ – число степенів волі більшої дисперсії,

K₂ – число степенів волі меншої дисперсії)

Рівень значимості ά=0,01.

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	4052	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082	6106
2	98,49	99,01	99,11	99,25	99,30	99,33	99,34	99,36	99,38	99,40	99,41	99,42
3	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,77	27,49	27,73	27,72	27,13	27,05
4	21,20	18,00	16,77	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
5	1626	13,27	12,09	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
6	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
11	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
13	9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
14	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
15	8,86	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
17	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45

Рівень значимості ά=0,05.

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	243	244
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,40	19,41
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,70	4,68
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00
7	5,99	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,60	3,57
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,94	2,91
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,72	2,69
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,56	2,53
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,52	2,48
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,42
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,45	2,41	2,38

Література:

1. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. — М.: Высшая школа, 1986. — 80 с.

2. Ашманов С.С. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984. —293 с.

3. Бугір М.К. Основні економіко-математичні моделі та розрахун­кові роботи до них. — Тернопіль: Ной, 1994. — 112с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1977. — 479 с.

5. Жлуктенко В.Ш, Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і еле­менти математичної статистики. — К.: УМК ВО, 1991. — 252 с

6. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероят­ностей. — М.: Наука, 1983. — 160 с.

7. Свешников И.В. (под редак.) Сборник задач по теории вероятно­стей и математической статистике. — М.: Наука, 1970. — 656 с.

8. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятно­стей и математической статистике. — М.: Наука, 1965. — 511с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. — М.: Наука , 1978. - 224 с.

10. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1964.- 576с.

11. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И.. Теория вероятностей и математическая статистика.- Киев: Выща школа, 1988.- 438c.

12. Ширяев А.Н.. Вероятность.- М.: Наука, 1980.-574.

Боровков А.А.. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1976.-352c.

13. Теорія ймовірностей. Збірник задач. Під редакцією А. В. Скорохода.- Київ: Вища школа, 1976.-383с.

14. Бугір М.К.. Посібник з теорії ймовірності та математичної статистики. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 176с.

15. Рабик В.М.. Основи теорії ймовірностей: Навчальний посібник. – Львів:Магнолія плюс, 2006. – 176с.