3.13. Нерівність Чебишева, теорема Чебишева та Бернуллі.

_{Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного Р { }=0 .}

_{Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так : =plim , або .}

_{Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М .}

_{Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця}

_{збігається до нуля по ймовірності.}

_{Нерівність Чебишова : Довести, коли існує M} ² _{i М =а , то . (63)}

_{Теорема Чебишова. Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді}

_{. (64)}

_{Наслідок. Нехай 1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…}

_{Тоді для кожного}

_.

_{Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань 1, 2 ,…, n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,}

-34-

_{Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподілених величин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного}

₍₆₅₎

_{Теорема Маркова. Нехай випадкові величини 1, 2 ,…, n як завгодно залежні. Для виконання (64) достатньо, щоб}

_{при . (66)}

_{Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки- успіх У ( з ймовірністю р ) або невдача Н ( з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M к=p, D к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших n випробуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.}

_{Теорема Бернуллі.}

_{Для довільного Р{ при n . (67)}

_{Зміст цього твердження полягає в тому, що введене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.}

Посилений закон великих чисел.

_{Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,}

_{або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{ }.}

_{Розглянемо послідовність випадкових величин k з скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені А.М.Колмогоровим.}

Теорема 1. Нехай _n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1. (68)

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1. (69)

Це випливає з того, що = , де _k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2. Нехай - послідовність незалежних одинаково розподілених величин з скінченим математичним сподіванням М =а. Тоді

Р { =а}=1. (70)

Центральна гранична теорема.

Теорема. Нехай ₁, ₂ ,…, _n,…- послідовність незалежних випадкових величин з скінченною дисперсією ( і .

Тоді при n для довільного x

(71)

( де = ).

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального ( гаусівського).

Приклад 35. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює . Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

▪ Знайдемо математичне сподівання та дисперсію дискретної випадкової величини - числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

; =25.

Знайдемо максимальну різницю між заданим числом появ події та математичним сподіванням М =50: =60 – 50 = 10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі

.

Підставляючи М =50, D =25, =10, одержимо

▪

Приклад 36. Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,04.

▪ Так як n=4500 –велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,

Р{ }=

= , де ▪