Пенсионное страхование
План без возврата взносов.
Пенсионный план без возврата взносов представляет собой классическую пожизненную ренту пренумерандо, отложенную до наступления пенсионного возраста р. Пусть х – возраст застрахованного. Тогда стоимость договора страхования пенсии на момент заключения договора определяется по формуле:
,
где d=p-x – время отсрочки выплат. Отсюда величина ежегодных страховых нетто-взносов, уплачиваемых в течение m лет с момента заключения договора:
,
где
- годовой коэффициент рассрочки. Если
выжидательный период (период от последнего
взноса до первой выплаты) отсутствует,
то m=d
и в знаменателе последней формулы
величину x+m
следует заменить на p.
Если пенсионные выплаты осуществляются пожизненно q раз в год в размере 1/q начиная с возраста р, а страховые взносы уплачиваются r раз в год, то годовая сумма взносов будет определяться по формуле:
.
2) План с возвратом взносов в случае смерти застрахованного лица в допенсионном возрасте.
В этом случае формируется дополнительный фонд для возврата средств, так как расчет взносов (премий) в предыдущем случае предусматривал распределение средств, внесенных в пенсионный фонд всеми участниками страхования, между дожившими до очередной выплаты.
Для простоты расчетов будем считать, что выжидательный период отсутствует, то есть взносы уплачиваются вплоть до достижения пенсионного возраста m=d=р-х. Если возврат уплаченных до момента смерти взносов осуществляется в конце страхового года, текущая стоимость этого фонда на момент заключения договора определяется как стоимость страхования жизни на срок с возрастающей страховой суммой:
,
где
-
искомая величина ежегодно уплачиваемых
взносов по данному виду страхования
пенсии.
Страхование с возрастающей суммой.
Данный вид страхования является разновидностью страхования жизни и может быть как пожизненным, так и на срок. Пусть каждый последующий год страховая выплата увеличивается на единицу по сравнению с единицей страховой суммой первого года.
Найдем стоимость
полиса пожизненного страхования.
Стоимость выплат при начальной сумме
S=1,
приведенная на начальный момент времени,
будет равна в 1-ый год –
;
во 2-ой год –
;
в 3-ий год –
и т.д. Следовательно, величина
единовременного взноса исчисляется по
формуле:
.
Тогда величина единовременного взноса для ежегодной единичной пенсии определяется из условия равенства текущих стоимостей взносов и выплат:
и равна 
.
Практически во всех схемах пенсионного страхования предусмотрена такая защита уплаченных взносов.
3) План с дополнительными выплатами в случае смерти в пенсионном возрасте.
Большинству страхователей представляется несправедливым то обстоятельство, что если смерть застрахованного наступает за день до первой пенсионной выплаты, возвращается вся сумма уплаченных взносов, а если день спустя, то выдается только первая пенсионная выплата. Существует много схем для защиты взносов в случае смерти страхователя в пенсионном возрасте, они действуют ограниченное время и в ограниченном размере.
В качестве примера
рассмотрим схему, согласно которой в
случае смерти страхователя в первые k
лет после начала выплат пенсии страховщик
производит страховую выплату в размере
k
годичных пенсий. Данный фонд по способу
формирования соответствует фонду,
формируемому по страхованию жизни
сроком на k
лет, отложенному до наступления
пенсионного возраста, то есть на р-х
лет:
.
Тогда величина ежегодно уплачиваемого взноса с учетом всех средств защиты накопленных взносов определяется из условия равенства текущей стоимости страховой премии и текущей стоимости суммарного фонда, обеспечивающего все возможные выплаты:
,
откуда
.
Формулы для планов с дополнительными выплатами могут быть модифицированы на случаи, когда уплата премий и пенсий осуществляется несколько раз в год.
Варианты заданий
Вариант 1
Для человека в возрасте Х лет определить:
вероятность прожить еще К лет;
вероятность умереть от М до М+К лет;
вероятность умереть на (К+1)-ом году жизни.
Сколько в среднем из 1000 людей в возрасте Х доживут до Х+М лет?
Определите размер единовременного и ежемесячного (в течение первых К лет) взносов при смешанном страховании жизни сроком на М лет для человека в возрасте Х лет, если страховая сумма при дожитии равна S1 у.е., а в случае смерти наследники получат S2 у.е.
Определите размер единовременного взноса, который должен вносить страхователь в возрасте Х лет для того, чтобы получать затем в течение М лет в конце каждого месяца сумму в размере S1/10.
Найти размер ежемесячной нетто-премии, которую должен вносить в течение М лет страхователь в возрасте Х лет, чтобы затем получать ежемесячно в течение 20 лет пенсию в размере S1, если план не предусматривает возврата взносов.