1.12 Волновые ур-я в комплексной форме

ВУ для гармонических колебаний можно представить в комплексной форме путем преобразования ур-ий Максвела в комплексной форме, аналогично полученным в 1.11.

Другой вариант получения волновых ур-ий в комплексной форме.-Преобразуем ур-е 1.63 в комплексную форму в соответствии с известными правилами:

(1.64а)

; (1.64б)

Ур-я 1.64 есть однородные волновые ур-я(ОВУ) Гельмгольца.

Неоднородные волновые ур-я(НВУ) Гельмгольца можно получить, преобразуя правую часть НВУ Даламбера в комплексную форму(КФ) в соответствии с правилами.

Введем обозначения:

; (1.65)

или

(1.66)

k-волновое число.

При исследовании распространения ЭМВ в средах с полями с потерями для диэлектрической проницаемости и является комплексными величинами и .

Для таких сред(магнитных):

K= (1.67)

Для не магнитных сред, но диэлектрических с потерями

Для свободного пространства(вакуума)

k=

Тогда ур-я Гельмгольца будет иметь вид:

(1.68а)

(1.68б)

Глава 2. Плоские волны в безграничной среде.

2.1 Основные понятия и хар-ки плоских волн.

Простейшим волновым процессом яв-ся гармоническое колебание. Однако все сложные радиосигналы можно разложить на простейшие гармонические колебания в соответсвии с преобразованиями Фурье.

Понятия и хар-ки плоских волн вытекают из решения волновых ур-ий Гельгольца 1.68

Упростим эти ур-я для декартовой ск, представив + , аналогично для

Предполжим что:

Тогда ур-я Гельмгольца замкнутся:

=0; (2.1а)

=0; (2.1б)

Решением ур-я 2.1а в полож-ом направлении если z яв-я ф-я.

= ; (2.2)

–волновое число плоской волны в среде с потерями

Для немагнитных сред

Посмотрим участок фронта волны на больших расстояниях z от источника, тогда эта элементарная площадка (рис) будет представлять собой полость, в которой фаза постоянна, амплитуда постоянна, и не зависит от координаты х, т.е. + , для всех составляющих E и H.

Плоская волна- волна, у которой фазовая пов-ть яв-ся плоскостью.

Ур-е 2.2 можно преобразовать к виду:

; (2.3)

принять во внимание, что комплексное число, равное

j =α-jβ=w ; (2.4)

α-коэф-т затухания волны вдоль напр-я z;

β-коэф-т фазы волны вдоль напр-я z;

постоянная распространения;

| |= ; (2.5)

-амплитуда вектора при z=0.

;

; (2.6)

Ур-е 2.6 исп-ся для численного определения коэф-та затухания α .

,

В ур-и 2.3 выр-е wt-βz –есть текущая фаза, зависящая от t и от

Определим взаимосвязь между этими параметрами. Допустим, что wt-βz=const, то wdt=βdz,

; (2.7),

где v= фазовая скорость в направлении оси z.

, т.е. коэф-т β определяет v распр-я фазы в свободном пр-ве v=e= ,

β= ; (2.7a)

Β( )=2π βγ=2π

β= ; (2.8)

Ур-я 2.8 связывает коэф-т фазы фазы и длину волны колебания.

Определим соотношения амплитуд эл. и магн. составляющей плоских волн. Для этого воспользуемся ур-ем Максвела. Из 20го уравнения Максвела применительно к плоским волнам получим выражение.

=-jw

Определим из ур-я выше.

= ; (2.9)

Ур-е 2.9 яв-ся частным случаем общего понятия- характеристического сопротивления волны Z, которое определяется как отношения амплитуд поперечных составляющих эл. поля E и магн . поля

H, т.е. Z=E/H; (2.10)

Определим Z для свободного пр-ва из ур-я 2.9 пологая k=w получим

; (2.11)

Подставляя и получим для свободного пространства.

Для диэлектриков без потерь

; (2.11a)

Для среды с потерями

; (2.11б)

В литературе принято характеризовать среду распространения понятием волновое сопр-е среды.

2 понятие среды: волновое сопротивление и характеристическое- принципиально разные понятия.

Волновым сопр-ем наз-ся отношением к току - это понятие применяется мини передач

Обобщая рассмотренные выч-я запишем ур-е плоской волны:

; (2.12a)

; (2.12б)