Игра двух участников с нулевой суммой. Решение игры двух участников с нулевой суммой в смешанных стратегиях.

Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y),   действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

X \ Y	Орел	Решка
Орел	-1, 1	1, -1
Решка	1, -1	-1, 1

Простейшим примером антагонистической игры является игра «Орлянка». Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает — он платит первому одну денежную единицу, если угадывает — первый платит ему одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: «орел» и «решка». Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах — стратегии второго игрока y. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.

В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

где x ∈ X и y ∈ Y — стратегии первого и второго игроков, соответственно.

Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то  .

Если результат полностью определяется игроком, совершившим последний ход (если правила хода идентичны для игроков), стратегия может быть найдена с помощью функции Гранди.

Матричная игра. Максминные и минимаксные стратегии, ситуации равновесия, смешанное расширение игры.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в вид матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратеги игрока 2, столбец – номеру применяемой стратеги игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применемым стратегия ).

Смешанной стратегией называетс полный набор вероятностей применения его чистых стратегий

Сведение матричной игры к задаче линейного программирования. Доминирование стратегий.

Пусть имеется произвольная матричная игра без седловой точки с платёжной матрицей  . Как известно, основная задача теории игр заключается в определении оптимальных стратегий игроков и цены игры. Пусть     − оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно.

Соотношения между   и ценой игры   можно формализовать в виде системы неравенств:

                            (13.1)

причём   и   

Аналогично соотношения между   и ценой игры   можно формализовать в виде системы неравенств:

                          (13.2)

 и    

Пусть   Если   всегда можно так преобразовать матричную игру, чтобы сделать её цену положительной. Положив

 

 и 

 

разделим неравенства системы (13.1) и (13.2) на   Получим следующие соотношения (табл. 13.1).

                         Таблица 13.1

Игрок А	Игрок В
Стремится максимизировать выигрыш	Стремится минимизировать проигрыш

 

Очевидно, в левом столбце табл. 13.1 записана стандартная задача минимизации линейного программирования, а в её правом столбце − стандартная задача максимизации линейного программирования. Кроме того, представленные в табл. 13.1 задачи линейного программирования образуют пару симметричных взаимодвойственных задач. Решив данные задачи линейного программирования (см. пункт 9) симплекс-методом, получим и решение матричной игры:

− цену игры  ;

− оптимальные смешанные стратегии   и