3. Счётные множества
Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N, называются счетными множествами.
Мощность счётного множества обозначается буквой “ а ”.
=
a.
-7-
Пример:
,
ТЕОРЕМА 1: Любое бесконечное множество А содержит в себе счетное подмножество М и притом А\М - также бесконечно.
ТЕОРЕМА 2: Сумма конечного или счётного множества счетных множеств также счетное множество.
Пример: Множество целых чисел Z - счетно.
Действительно,
,
следовательно, по теореме 2 множество целых чисел Z - счетно.
ТЕОРЕМА
3.
Пусть
,
множество элементов, определяемых
конечным числом индексов,
каждый
из
которых независимо от других пробегает счетное множество значений . Тогда А - счётно.
Пример: Множество рациональных чисел R - счетно.
Действительно
записывается в виде
,
где т-
целое число,
а п-
натуральное число.
- счетно по
теореме 3.
ТЕОРЕМА 4. Если к любому бесконечному множеству А прибавить конечное или счетное множество В новых элементов, то мощность множества А не изменится.
Упражнения 3:
Какова мощность множества попарно не пересекающихся открытых интервалов на числовой прямой.
-8-
2. Доказать, что
если
> 0 такое, что для различных
элементов х, у
из А
то А -
конечно или счетно.
Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции на
действительной оси не более чем счетно.
Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно эквивалентно собственному подмножеству.
Доказать, что множество всех многоугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты, счетно.
Доказать, что множество попарно не пересекающихся букв Т на плоскости конечно или счетно.
Какова мощность множества всех алгебраических полиномов ( т.е.
полиномов с рациональными коэффициентами).
8. Какова мощность множества всех алгебраических чисел ( т.е.
корней алгебраических полиномов).
9*. Разложить множество натуральных чисел в счетную совокупность
попарно не пересекающихся счетных множеств.
Множества мощности континуума.
ТЕОРЕМА
БЕРНШТЕЙНА.
Пусть
А и В - бесконечные множества .
Если А
В и А ~
В, но А
М, причем М ~
В, то
.
Множества, эквивалентные множеству точек отрезка , называют континуальными множествами (множествами мощности континуума).
Примеры:
1.
.
Действительно, если
,
-9-
то
взаимно - однозначное соответствие
между элементами этих множеств можно
установить по формуле:
2.
по теореме 4 о счетных множествах.
Замечание:
множество всех возможных двоичных
дробей
отличается от множества точек
на двоично - рациональные числа с
единицей в периоде, которых счетное
множество. Тогда, т.к.
,
то и
по теореме 4 о счетных множествах.
Упражнения 4:
Определить мощность множества иррациональных чисел.
Определить мощность множества трансцендентных чисел.
( Действительное число, не являющееся алгебраическим, называется
трансцендентным ).
Доказать, что множество всех последовательностей из 0 и 1 несчетно.
Доказать, что множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.
Доказать, что множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел и всех возможных последовательностей натуральных чисел эквивалентны.
Доказать, что множество всех точек эллипса имеет мощность
континуума.
7. Доказать, что множество попарно не пересекающихся букв Г на
плоскости континуально.
8*. Пусть Е -
счетное множество точек на прямой.
Можно ли сдвинуть это множество
на величину а ( т.е. заменить
любую точку
на точку
)
так, чтобы получившееся в результате
сдвига множество
не пересекалось с Е,
т. е.
?
-10-
9*. Из станции ( * ) выходят 2 ветки: 0 и 1, заканчивающиеся
одноименными станциями 0 и 1. Из станции 0 выходят тоже 2 ветки: 00 и 01, а из станции 1, соответственно, 10 и 11. И т. д. Дорогой называется бесконечная последовательность веток, продолжающих друг друга и начинающая из станции (* ).
Какова мощность множества станций и множества дорог ?