1.3.1. Математичний опис нагрівальної печі як простішого об'єкту регулювання

Хай нагрівальна піч є лінійним об'єктом без запізнювання. Розглянемо процес нагріву металу в печі, прийнявши наступні вихідні дані:

- дія, що управляє (відносна температура атмосфери печі)

F_упр = θ_печі = К•Р (1.3.1)

- вихідний параметр (відносна температура металу) Х_вих = θ_м ;

- допоміжні параметри:

- питома теплоємність металу С;

- маса металу m;

- поверхня нагріву S;

- коефіцієнт теплопередачі α.

Знайдемо кількість тепла, передану металу атмосферою печі:

Q_м = α•S(θ_печі — θ_м) •Dt (1.3.2)

Тепловміст металу

Q_м = С• m•Dθ_м (1.3.3)

Прирівняємо (1.3.2) і (1.3.3):

С• m•Dθ_м = α•S(θ_печі — θ_м) •Dt

Перетворюємо:

(1.3.4)

Підставимо в (1.3.4) θ_печі з (1.3.1) і перейдемо від приростів до диференціалів:

(1.3.5)

Рішення диференціального рівняння (1.3.5) має вигляд:

(1.3.6)

де постійна часу Т:

(1.3.7)

стале значення температури металу:

(1.3.8)

Перехідна характеристика печі, яка називається кривою розгону, відповідно до (1.3.5) матиме вигляд:

Рис. 1.5. Перехідна характеристика печі

Перехідний процес нагріву – аперіодичний, час регулювання в цьому випадку складає 3 – 4 постійних часу об'єкту.

1.3.2. Визначення параметрів об'єкту регулювання по кривій розгону

Реальна нагрівальна піч, як і багато інших об'єктів регулювання, як правило, є нелінійний об'єкт із запізнюванням. Тому часто аналітичне визначення його параметрів є складним завданням. В цьому випадку криву розгону знімають експериментально, а потім по ній визначають параметри об'єкту. Для цього спочатку визначають усереднений статичний коефіцієнт передачі об'єкту, вважаючи його лінійним в невеликому діапазоні характеристики поблизу набутого сталого значення вихідної величини:

, (1.3.9)

де Хст і Х₀ – стале і початкове значення вихідної величини, Dy – відповідна зміна дії, що управляє.

Для визначення динамічних параметрів існує декілька методів. Розглянемо два найбільш поширені методи визначення динамічних параметрів об'єкту по наявній кривій розгону.

А) Метод дотичної.

Хай є експериментально одержана крива розгону об'єкту, приведена на рис.1.6.

Рис. 1.6. Визначення параметрів об'єкту методом дотичної

1. Проводимо дотичну до кривої розгону в точці найбільшої швидкості зміни вихідної величини.

2. Відрізок між початком зміни вихідної величини і точкою перетину дотичною з віссю абсцис (вісь часу) дорівнює часу запізнювання об'єкту об.

3. Відрізок, рівний проекції на вісь абсцис відрізка дотичної між точками її перетину з віссю абсцис і з лінією сталого значення вихідної величини, дорівнює постійної часу об'єкту Тоб.

Б) Наближений графоаналітичний метод.

В цьому випадку:

1. На графіку (див. рис. 1.7) проводять дві горизонтальні лінії: одну на рівні Х1^* у області перегину (зазвичай Х1^* = 0,1 – 0,2 від Хст, типове значення Х1^* =0,15), а другу на рівні Х2^* = 0,7 – 0,9 від Хст ( типове значення Х2^* = 0,85).

Рис. 1.7. Визначення параметрів об'єкту графоаналітичним методом

2. Знаходять значення 1 і 2, відповідні точкам перетину відповідних ліній з кривою розгону.

3. Параметри об'єкту знаходять із співвідношень:

(1.3.10)

(1.3.11)