Линейный одномерный анализ

В любой линейной теории неустойчивости изменение гармонических колебаний во времени изучается с точки зрения того, приводят они к неустойчивости или затухают. Характер переходных процессов в рамках такой теории не иссле­дуется. Вся информация получается путем анализа гармонических колебаний, так как любая функция разлагается на гармонические составляющие. Как из­вестно, в линейной теории рассматриваются колебательные процессы под дейст­вием малого начального возмущения. При этом любое возмущение в начальный момент описывается как функция положения в камере сгорания. Для устойчиво­сти необходимо убедиться в затухании всех гармонических составляющих. При анализе же нелинейных эффектов исследовать только гармоническое движение уже недостаточно, так как принцип суперпозиции при этом нарушается.

Чтобы найти линейное условие неустойчивости горения, не касаясь вопроса о конечном уровне колебаний, принимают, амплитуду наи­большего возмущения малой. При таком подходе исходные дифференциальные уравнения упрощаются, поскольку величинами второго порядка малости и выше пренебрегают, а анализируются лишь члены, содержащие возмущенные величины в первой степени. Поэтому получаются линейные уравнения относительно возму­щений. Линейность возмущений позволяет применить принцип суперпозиции, при котором сумма двух частных решений уравнений также является решением. Поэтому возмущения представляются в виде ряда Фурье, который позволяет анализировать поведение каждого члена ряда в отдельности: при наличии хотя бы одного неустойчивого члена суммарное колебательное движение также будет неустойчивым независимо от поведения остальных членов. Математически это выражается наличием хотя бы одного правого корня в решении характеристиче­ского уравнения исходной системы линеаризованных дифференциальных уравне­ний.

При линеаризации исходных уравнений применим несколько отличную по форме от рассматриваемой ранее линеаризации (что одновременно с некоторым упрощением анализа позволяет познакомиться с еще одним методом).

Умножим амплитуду каждого возмущения на , где (σ - коэффициент усиления, ω— угловая частота), а возмущение зададим в такой форме: ;

, (5.69)

где ε— мера амплитуды давления ~ δр/р°; δp(s) — комплексная амплитуда воз­мущения давления, при которой действительная часть представляет собой действительное мгновенное возмущение (аналогично для плотности).

Определяемые таким образом комплексные амплитуды зависят только от ко­ординат точки в пространстве.

Возмущения скорости можно представить следующим образом:

, (5.70)

где μ - мера амплитуды скорости (среднего числа М); - среднее значение скорости.

Учитывая сказанное, уравнения (5.63) и (5.64) при помощи отношений (5.69) и (5.70) можно привести к следующему виду:

(5.71)

, (5.72)

где - скорость звука в газе.

В силу того, что ε(μ) малы (но не равны нулю), член в фигурных скобках уравнения (5.71), умножаемый на ε, пропадает, так как появляются слагаемые второго порядка малости.

Граничные условия записываются для z = 0 и z = L. Уравнения могут быть решены формально для произвольного движения, но это обычно адекватно рас­смотрению только гармонического движения. В результате можно получить от­вет на вопрос: будут ли начально малые возмущения возрастать или умень­шаться. В линейном анализе, как выше было указано, используется временная зависимость для всех возмущений. Комплексное волновое число k, в котором действительная часть определяет угловую частоту, а мни­мая— рост или уменьшение σ, равно: . При σ<0 имеем линейную устойчивость колебаний.

С учетом принятой временной зависимости

; (5.73)

, (5.75)

при граничных условиях для z = 0 и z = L

. (5.75)

Здесь

(5.76)

. (5.77)

Знак (^) относится к амплитудам колебаний далеко от стенки. Совместное рас- смотрение уравнений (5.73), (5.74) и следующих:

; (5.78)

(z=0, L) (5.79)

позволяет окончательно получить выражение для комплексного волнового числа

, (5.80)

где . (5.81)

Действительная часть выражения (5.80) определяет искомую величину σ:

(5.82)

Здесь - приход массы, знак «~» относится к средним величинам.

Слагаемые, входящие в зависимость (5.82), можно интерпретировать следу­ющим образом.

Первый член в фигурных скобках представляет связь с поверхностью горе­ния; первое слагаемое в скобках - для конца заряда, второе - для бокового за­ряда.

Второй член в фигурных скобках представляет обмен акустической энергией, который связан с массовым потоком через боковую границу; для прихода массы он представляет потери энергии, потому что входящий поток должен приобре­тать энергию.

Первое слагаемое третьей фигурной скобки определяет рассеивание акусти­ческой энергии вследствие сил взаимодействия между частицами и газом; второе - потери энергии вследствие приобретения акустической энергии частиц че­рез границу.

Последний член (5.82) определяет догорание.

Отметим, что полученный результат линейного анализа (5.82), позволяет связать общую акустическую энергию в камере ε и 2σ:

. (5.83)

Аналогичные результаты можно получить для трехмерной задачи с более корректной постановкой задачи (без рассмотренных ранее допущений). Подроб­нее об этом можно найти в работах Ф. Е. Кулика.