2. Краевые и начальные условия.

В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила; следовательно,

, ;

б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.

, ;

в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т.е.

, .

Краевые условия, ограничивающие свободу перемещения концов стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, например, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т.е. условия

.

Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами

, ,

мы будем называть динамическими условиями.

В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. С некоторыми видами упругих закреплений мы встретимся в разобранных дальше примерах. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин

Начальные условия выражаются соотношениями

имеющими место в момент где и - некоторые заданные функции переменной , определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов.

3. Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие.

Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня

(9)

является так называемое главное колебание, в котором изменяется с течением времени по гармоническому закону

(10)

Функция устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты - так называемая собственная частота. Отбор собственных частот и соответствующих им собственных форм осуществляется с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи.

Чтобы получить уравнение собственных форм однородной задачи, подставим (10) в (9). После сокращения на будем иметь

или

(11)

где

(12)

Уравнение (11) имеет следующие четыре независимых частных решения:

его общий интеграл

(13)

Он содержит четыре произвольные постоянные которые должны быть подобраны так, чтобы для функции выполнялись краевые условия, т.е. условия закрепления концов стержня. В обычных случаях, число краевых условий равно числу произвольных постоянных – по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин:

пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему моменту и перерезывающей силе в точках или Выполняя эти условия, мы получим четыре однородных уравнения, из которых найдутся отношения постоянных и уравнения для определения собственных частот системы.

Во многих отношениях более удобной оказывается следующая система частных решений уравнения (11):

(14)

Функции называют функциями А. Н. Крылова. Найдем значение этих функций и их производных по аргументу до третьего порядка включительно при

x

(15)

Определитель, составленный из этих величин, равен единице. Поэтому функции Крылова называют иногда функциями с единичной матрицей, а систему (14) – нормальной или фундаментальной системой интегралов уравнений (11).

Приведем выражения последовательных производных по от функций до четвертого порядка включительно.

	Первая производная	Вторая производная	Третья производная	Четвертая производная

(16)

Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с помощью этих функций можно сразу написать выражение общего интеграла уравнения (11), удовлетворяющего условиям на конце и содержащего только две постоянные, которые определяются из условий на другом конце

Колебания стержня со свободными концами (балка, плавающая в жидкости одинаковой с ней плотности; плавающее судно). Краевые в этом случае имеют вид

(23)

а интеграл, удовлетворяющий условиям на конце

На конце

откуда

или

Уравнение частот не отличается от уравнения (22) для стержня с закрепленными концами. Разыскивая периодическое решение уравнения (8) в форме

мы не получим никаких других возможных в данном случае непериодических решений. Между тем очевидно, что уравнению (8) при тех же краевых условиях (23) удовлетворяют функции

(24)

Первая определяет поступательное перемещение, одинаковое для всех точек стержня; вторая – вращательное вокруг некоторой оси, положение которой находится из начальных условий. Первая частота колебаний стержня со свободными концами соответствует значению Подставив это значение в уравнение форм колебаний

приведем его к виду

.

На протяжении от 0 до функция дважды меняет знак. Таким образом, форма колебаний, соответствующая первой отличной от нуля частоте, имеет два узла. Согласно теореме об узлах собственных форм, таким количеством узлов может обладать третья форма колебаний. Это видимое противоречие легко устраняется, по крайней мере формально, если за первую и вторую формы считать выражение (24), соответствующее поступательному и вращательному перемещениям стержня. Тем не менее, первой формой колебаний в рассматриваемом случае называется двух узловая форма, соответствующая частоте

ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ