1. Уравнения продольных и крутильных колебаний прямого стержня.

Обозначим через погонную массу стержня; - погонный момент инерции относительно оси стержня; через - площадь поперечного сечения; - экваториальный момент поперечного сечения; - модуль Юнга; - модуль сдвига. Пусть и - соответственно продольное смещение и угол поворота какого-либо сечения стержня в момент Обозначим далее через интенсивность внешней нагрузки – продольной, направленной по оси стержня, в случае продольных колебаний и моментной – в случае колебаний крутильных. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня мы получим как необходимые условия экстремума функционалов:

(1.1)

для продольных колебаний и

(1.2)

для крутильных.

Интегралы по , взятые в пределах от 0 до (длина стержня) от первого и двух последних слагаемых в квадратных скобках, представляют соответственно кинетическую и потенциальную энергию рассматриваемой системы.

Согласно (*) необходимое условие экстремума функционала будет иметь вид

(1.3)

необходимое условие экстремума функционала

(1.4)

Условия (3) и (4) и будут уравнениями продольных и крутильных колебаний соответственно.

Когда и жесткость и постоянны по всей длине стержня, то уравнения свободных колебаний (продольных и крутильных) однородного стержня имеют вид

(1.5)

(1.6)

где ; Уравнения (5) и (6) – линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Для продольных и крутильных колебаний однородного стержня они имеют одинаковую форму. Можно поэтому в общей теории ограничиться рассмотрением одного из них, например, второго, т. е. уравнения крутильных колебаний. При этом рассмотрении мы будем опираться на общий принцип линейной теории колебаний – принцип суперпозиции малых колебаний, который был положен в основу изучения колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Мы будем предполагать, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы также представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний.

Руководствуясь этим принципом, мы будем искать главные гармонические крутильные колебания стержня в таком виде:

(1.7)

где - функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных угловых отклонений сечений стержня от их равновесных положений. В дискретных системах с конечным числом степеней свободы эта функция вырождается в конечную совокупность амплитудных смещений сосредоточенных масс.

Подставив (7) в (6), получим уравнение собственных форм

(1.8)

или

где

Уравнение собственных форм продольных колебаний будет иметь аналогичную форму

(1.9)

где

Величины и называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея, выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки на перемещении работе нагрузки на перемещении получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ

если получим

(1.10)

Для продольных колебаний условие ортогональности напишется аналогичным образом:

(1.11)

Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (8) (для крутильных колебаний) будет иметь вид

(1.12)

или

где и - значение угла поворота и производной от него по для Постоянные и или и , а также собственные значения определяются из краевых условий задачи, т.е. из условий закрепления концов стержня. В простейших случаях концы стержня (один или оба) свободны или жестко закреплены. Эти способы закрепления выражаются следующими соотношениями:

1. для крутильных колебаний на свободном конце

(1.13)

на закрепленном

(1.14)

2. в случае продольных колебаний на свободном конце

(1.15)

на закрепленном

(1.16)

Другие свойства собственных форм аналогичны свойствам форм систем с конечным числом степеней свободы. Так, остается в силе теорема об узлах собственных форм: число узлов собственной формы -го порядка равно -1; при этом узлы двух последовательных форм перемежаются. Остается также в силе и теорема о разложении любой формы по собственным формам однородной задачи.

Общее решение уравнения (8) мы получим как бесконечную линейную сумму главных колебаний

(1.17)

или

(1.18)

Постоянные определяются из начальных условий, которые в случае крутильных колебаний выражаются заданием в начальный момент распределения по стержню угловых отклонений

и их производных по

где и - некоторые заданные функции переменной .

Само вычисление постоянных производится следующим образом. Прежде всего находим из (18)

(1.19)

Положив здесь получим

(1.20)

Взяв производную от (19) по найдем

(1.21)

Как видно из последней формулы, постоянные и являются коэффициентами разложения заданных функций и по собственным формам

Частоты главных колебаний стержня образуют бесконечный дискретный ряд значений. Перенумерованные в порядке возрастания они вместе с порядковым номером растут до бесконечности.

2. Свободные колебания стержня с линейным сопротивлением. Уравнение свободных колебаний стержня с сопротивлением пропорциональным скорости смещения его элементов, мы запишем в таком виде

(2.1)

обозначив

Решение уравнения будем искать в виде разложения искомой функции по собственным формам главных колебаний однородного стержня без сопротивления, т. е. по формам, удовлетворяющим уравнению

(2.2)

где

Положив

(2.3)

получим, подставив это выражение в (2.1):

Последнее равенство, приняв во внимание (2.2), можно представить в такой форме:

откуда

При

где

Теперь решение (2.3) будет иметь вид

(2.4)

Постоянные и найдутся из начальных условий. Так, если в начальный момент

то

(2.5)

Для стержня жестко закрепленного на конце и свободного на конце

В этом случае

Колебания стержня затухают, и он асимптотически приближается к равновесному положению.

3. Уравнения форм колебаний с правой частью. Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила приложенная в точке Уравнения колебания стержня в этом случае можно написать следующим образом:

где импульсивная функция первого порядка. Чисто вынужденные колебания в отсутствии сопротивлений будут происходить по закону

где форма вынужденных колебаний. Подставив это выражение для в предыдущее уравнение, приходим к уравнению для формы колебаний

(3.1)

– дифференциальному уравнению с правой частью

Правую часть будем иметь и уравнение собственных форм свободных стержня, несущего сосредоточенные массы. Силы инерции этих масс в каком-либо из главных колебаний стержня изменяются по гармоническому закону с частотами главных колебаний. Формально они ведут себя так же, как и сосредоточенные возмущающие силы. Так, сила инерции массы , расположенной в точке

для главного колебания

имеет выражение

и уравнение собственных форм будет уравнением с правой частью, аналогичным уравнению (3.1):

(3.2)

Нужно только помнить, что в уравнении вынужденных колебаний частота возмущающей силы наперед заданная, известная величина, в уравнении же (3.2) она является наряду с искомой величиной.

Обозначим правую часть уравнения (3.1) через и будем искать его общий интеграл операционным методом. Положив

получим

откуда

и

(3.3)

В частности, когда то

(3.4)

где Такой вид имеет форма колебаний для всех Для участка стержня до точки приложения силы или массы, т. е. для Таким образом в рассматриваемом случае для формы колебаний мы будем иметь два выражения:

1) при

2) при (3.5)

Постоянные и найдутся из краевых условий задачи.

Предположим, что в точке к стержню приложена продольная единичная гармоническая возмущающая сила так, что функция - форма вынужденных колебаний системы. Пусть левый конец стержня жестко закреплен, правый свободен. Тогда ; вторую постоянную найдем из условия

Формулы (3.5) будут теперь иметь вид

1) Г при

2) Г при (3.6)

Если оба конца стержня свободны, то из условий (для крутильных колебаний)

найдем

Г

Г (3.7)

Формулы (3.6) и (3.7) дают простой способ вычисления динамических напряжений в любом сечении стержня или вала при действии на него сосредоточенной возмущающей силы или момента. Впервые такие формулы были найдены А. Н. Крыловым.