Методические рекомендации к выполнению курсового проекта по курсу «динамика ла»
(8-9 семестр).
Целью данного методического пособия является научить студента производить оценочные расчеты собственных и вынужденных колебаний ЛА.
1.Теоретическое обоснование.
1.1. Динамические нагрузки, действующие на ла.
(в неустойчивости!?)
1.2. Изгибные, продольные, поперечные (крутильные) колебания.
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ
1.Основные допущения и уравнения поперечных колебаний прямого стержня.
При выводе уравнения
поперечных колебаний стержня (или балки)
мы будем предполагать, что в недеформируемом
состоянии так называемая упругая ось
стержня прямолинейна и совпадает с
линией центров тяжести поперечных
сечений стержня. Эту прямолинейную ось
мы примем за координатную ось
,
и от нее будем отсчитывать отклонения
элементов стержня при поперечных
колебаниях. При этом мы будем считать,
по крайней мере на первых порах, что
отклонения отдельных точек оси стержня
происходят перпендикулярно к
прямолинейному, недеформированному ее
направлению, пренебрегая смещениями
этих точек, параллельными оси.
Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости (“плоскость колебаний”) и являются “малыми” отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.
При таких
предположениях отклонения точек оси
стержня при поперечных колебаниях
однозначно определяются одной функцией
двух переменных – координаты
и времени
:
=
Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.
Обозначим через
массу единицы длины стержня, через
-
жесткость на прогиб (
-
модуль упругости,
-
момент инерции поперечного сечения
стержня относительно нейтральной оси
сечения, перпендикулярной к плоскости
колебаний),
-
момент инерции единицы длины
стержня
относительно центральной оси,
перпендикулярной
к плоскости колебаний. На стержень
действует распределенная поперечная
нагрузка, интенсивность которой мы
обозначим через
,
а также продольная сила (растягивающая
или сжимающая), направленная по оси
стержня с интенсивностью
.
Эти нагрузки могут зависеть не только
от положения элементов стержня, но и от
времени.
Кинетическая энергия колеблющегося стержня складывается из кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня
=
(1)
и кинетической энергии вращения элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,
=
(2)
Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:
а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил
П
=
(3)
б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки
П
=
(4)
в) потенциальной энергии растяжения от продольной силы
П
=
(5)
Функционал
Остроградского – Гамильтона имеем
здесь вид
=
.
(6)
Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала уравнение Эйлер по формуле:
,
(*)
где
;
;
;
;
.
(7)
Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.
В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (7) последний член.
Положив
и
,
мы рассмотрим сначала свободные колебания
однородного стержня с постоянной
жесткостью
и погонной массой
.
Для таких колебаний уравнение (7) будет
иметь вид
,
(8)
где
.