4. Фундаментальные сплайны.

Любой сплайн можно выразить по формуле

Так как отрезок разделен на 2 части то на каждом из отрезков фундаментальные сплайны будут иметь свое уравнение, на отрезке уравнение будет иметь вид:

На отрезке будет иметь вид:

Для того чтобы найти значения моментов нужно составить систему из 3 уравнений:

Первое краевое условие:

Второе краевое условие:

Условие непрерывности:

Вывод фундаментального сплайна

	0	0	0	1	0

Система фундаментального сплайна строиться по правилу:

Составим матрицу системы:

Вывод .

Вывод ответа:

Аналагично получим уравнение всех фундаментальных сплайнов. Результат оформим в виде таблицы.

	1	0	0	0	0
	0	1	0	0	0
	0	0	1	0	0
	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	1

Часть 2: Дифференциальные уравнения.

2.1. Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью кубических сплайнов. Метод сплайн-коллокации.

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка:

и 2 краевых условия.

Поставленная задача называется задачей Коши. Решение данной задачи будем искать в виде сплайна +

В данную формулу можно будет подставить 2 известных y из краевых условий, функцию S, а так же её 1 и 2 производную подставляем в дифференциальное уравнение, в каждой точке получится 3 уравнения с 3 неизвестными y.

Решив систему находим неизвестные y и подставляем их в уравнение S(x) на 2х отрезках.

Пример:

+ Берем числа из таблицы 3 (раздел Приложения) третий столбик и из таблицы 1 третий столбик.

Подставим найденный y в уравнение сплайна.

+3)+3( -4)+3( +2)+( + = 5 -12,5 +10x +

2.2. Решение задачи методом сплайн-коллокации

Ответ:

Часть 3: Задача Коши

3.1. Определение

Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений  состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при  , а решение отыскивается при  .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение   и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки   имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений  .

Точка   задаёт начальные условия.