Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании

Комплекс аналитических методов выравнивания сводится к выбору конкретных кривых роста и определению их параметров. Под кривой роста будем понимать некоторую функцию, аппроксимирующую за­данный динамический ряд.

Разработка прогноза с использованием кривых роста включает сле­дующие этапы:

• выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует динамике временного ряда;

• оценка параметров выбранных кривых;

• проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой;

• расчет точечного и интервального прогнозов.

Кривые роста обычно выбираются из трех классов функций.

К первому классу относятся кривые, которые используются для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста.

Ко второму классу относятся кривые, имеющие предел роста в иссле­дуемом периоде. Такие кривые называют кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к кривым третьего класса. Их называют S-образными кривыми. Среди кривых роста первого типа следует выделить класс полиномов:

y_t = a₀ + a₁ t +a₂ t² +a₃ t³ + …

Параметр а₀ является начальным уровнем ряда при t = 0, а₁ называют линейным приростом, а₂ — ускорением роста, а₃ — изменением ускоре­ния роста.

В экономических исследованиях в большинстве случаях применяются полиномы не выше третьего порядка.

Полином первой степени

y_t = a₀ + a₁ t

на графике (рис. 6.1) изображается в виде прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.

Рис. 6.1. Полином первой

степени

Рис. 6.2. Полином второй

степени

Полином второй степени

y_t = a₀ + a₁ t + а₂ t ²

на графике (рис. 6.2) изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Если а₂ > О, то ветви параболы направлены вверх, в случае а₂ < О — вниз.

Полином третьей степени

Рис. 6.3. Полином третьей

степени

y_t = a₀ + a₁ t + а₂ t ² + a₃ t ³

У этого полинома (рис. 6.3) знак прироста ординат может изменяться один или два раза. Оценки параметров полиномов определя­ются методом наименьших квадратов. Так, нормальное уравнение для определения ко­эффициентов прямой имеет вид

{

Σ y _t = a₀ n + a₁ Σ t,

Σ y _t t = a₀ Σ t + a₁ Σ t²

Решение системы, т. е. нахождение коэффициентов системы а₀ и а₁, производится по формулам Крамера.

Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсолютные значения величин, если перенести начала координат в середи­ну ряда динамики. Если до переноса начало координат t равно 1, 2, 3..., то после переноса получим:

• для четного числа членов t =…, -5, -3, -1, 1, 3, 5 ...,

• для нечетного числа членов t = …, -3, -2, -1, О, 1, 2, 3... В этом случае коэффициенты прямой находятся из выражений

а₀= Σ у_t / п; а₁= Σ у_t t / Σ t². (6.4)

Аналогично определяются коэффициенты полинома второй степени (параболы), которые после переноса начала координат в середину ряда динамики имеют вид

a₀ = Σ y _t / n – Σ t ² / {(n Σ y _t t ² – Σ t ² Σ y _t ) / [ n Σ t ⁴ – (Σ t ²) ² ]};

a₁ = Σ y _t t / Σ t ² ; a₂ = (n Σ y _t t ² – Σ t ² Σ y _t ) / [ n Σ t ⁴ – (Σ t ²) ²] ;

Показательная кривая (рис. 6.4) имеет следующий вид.

Рис. 6.4. Экспонента у _t = а b ^t.

Если b > 1, то кривая растет с ростом t и падает, если b<1. Параметр а характеризует начальные условия, а параметр b — постоянный темп роста.

Прологарифмировав это выражение, получим:

lоg у _t = lоg а + t ∙ lоg b.

Обозначим A = lоg а, В = lоg b, тогда lоg y _t = А + t∙В. Для оценивания неизвестных параметров можно использовать систему нормальных уравнений для прямой и найти параметры А и В. Зная значения

A = lоg а и В = lоg b , путем потенцирования определим значения а и b.

Следует иметь в виду, что полученные таким образом оценки пара­метров показательной кривой оказываются смещенными в связи с тем, что в расчете участвуют не исходные данные, а их логарифмы. Причем смещение будет тем значительнее, чем больше разность меж­ду соседними уровнями заданного ряда.

Рассмотренные типы кривых используются для описания монотон­но возрастающих или убывающих процессов без насыщения. Примером кривой с насыщением является модифицированная экспонента (рис. 6.5)

y _t = k + a b ^t, (6.5)

где у = k — горизонтальная асимптота.

Рис. 6.5. Модифицированная экспонента y _t = k + a b ^t

Коэффициент k может быть определен исходя из свойств прогнози­руемого процесса или задан экспертным путем. В этом случае пара­метры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду

y _t - k ₁ = a b ^t,

где k ₁, — заданное значение асимптоты. После логарифмирования это­го выражения получаем:

lоg ( у _t – k ₁) = lоg а + t lоg b.

Используя систему нормальных уравнений, можно найти параметры lоg а и lоg b, потенцирование которых определяет а и b. Если параметр а отрицателен, то асимптота расположена выше кривой.

В экономических процессах чаще всего используется случай, когда

а < 0, b < 1 . При этом рост уровней ряда замедляется и стремится к некоторому пределу.

Наиболее известными из S-образных кривых являются кривая Гомперца (рис. 6.6) и логистическая кривая (кривая Перла — Рида) (рис. 6.7).

Рис. 6.6. Кривая Гомперца у _t = k a ^bt

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

у _t = k a ^b (6.6)

г

де а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; у = k — асимптота функции.

Для решения экономических задач чаще всего используется случай, когда lоg а < 0, b < 1.

В

Рис. 6.7. Логистическая кривая

1/y ^t = k + a b ^t

кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом прирост функции незначителен, на втором прирост увеличивается, на третьем прирост примерно постоянен, на четвертом происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно при­ближается к значению k. В результате кривая напоминает латинскую букву S.

Логистическая кривая (кривая Перла — Рида) — возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

1 / y _t = k + a b ^t, (6.7)

используется и другой вид кривой

y _t = k / (1 + b e ^{– at}).

В этих выражениях y _t = а и b — положительные параметры, k — предельное значение функции при стремлении t →∞ . Конфигурация графика логистической кривой близка к графику кривой Гомперца, но в отличие от нее логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба. С помощью этой функции хорошо описывается развитие нового производства. В начале производства нового вида товара технические средства производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на товар мал. В дальнейшем, с увеличением спроса и усовершенствованием технических методов изготовления, производство товаров увеличивается. Наступает насыщение товаров на рынке, рост производства замедляется и наступает стабилизация выпуска товаров на определенном уровне,

Рассмотренные кривые роста, наиболее часто используемые в эко­номических исследованиях, могут оказать помощь при выборе типа кривой.

Существует ряд подходов, облегчающих выбор кривой роста. Это, в первую очередь, статистические методы, например, метод последовательных разностей, метод характеристик прироста. Часто кривую роста выбирают исходя из значений критерия, в качестве которого принимают минимальное значение суммы квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных.

Однако нельзя недооценивать наиболее простой метод — визуальный. Подбирают кривую роста, форма которой соответствует реальному процессу. Если на графике временного ряда недостаточно просматри­вается тенденция развития, то следует провести сглаживание ряда и затем подобрать кривую, соответствующую новому ряду. При этом целесообразно использовать современные пакеты компьютерных программ.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:

1. Как подразделяются прогнозы в зависимости от глубины упреждения?

2. Каким образом определяются доверительные границы значений прогнозируемой величины?