Раздел 6. Моделирование экономических процессов

6.1 Линейная и нелинейная регрессия

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя или большим числом независимых пере­менных вида

У = ƒ(х_1, х₂, ..., х_к).

В уравнении регрессии случайная величина у зависит не только от значений независимых переменных х₁ х₂, ..., х_к, но и от ряда других факторов, влияющих на у, которые не могут быть проконтролированы. В связи с этим будем использовать запись вида

У = ƒ(х₁ х₂, ..., х_к)+ е,

где е — случайная величина, характеризующая отклонения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии. Статистический анализ случайной ошибки является одной из основных задач эконометрики.

При исследовании зависимости результативного признака у от ряда факторов х₁ х₂, ..., х_к, необходимо решать такие же задачи, что и при парной связи двух переменных х и у:

• определение вида регрессии;

• оценка параметров;

• определение тесноты связи, если переменные х и у — случайные величины.

Однако наряду с этими задачами необходимо рассматривать и ряд задач, характерных лишь для множественной регрессии и корреляции. К таким задачам относится отбор факторов х_1, х₂, ..., х_к, существенно влияющих на фактор у, при наличии возможностей внутренней взаимосвязи между переменными х₁, х₂,..., х_к. Такой отбор требует, прежде всего, глубокого теоретического и практического знания качественной стороны рассматриваемых экономических явлений.

Отбор факторов осуществляется обычно в нескольких этапов. Сначала отбираются факторы, связанные с изучаемым явлением на основе данных теоретического исследования (экономическая теория, заключения специалиста и т. д.). При этом для построения множественной регрессии и корреляции отбираются факторы, которые могут быть количественно измеримы.

Далее отобранные факторы подвергаются проверке существенности их влияния на изучаемый показатель с использованием методов математической статистики. Такая проверка, как правило, включает ана­лиз матрицы парных корреляций, частных корреляций, проверку существенности (значимости) коэффициентов регрессии на основе t-критерия, анализ остатков (отклонений) и т. д.

Особенностью множественной регрессии и корреляции является необходимость различать случаи корреляционной множественной связи, когда переменные х₁, х₂, ..., х_k, являются случайными величинами; регрессионной, если переменные х₁, х₂,..., х_k ─ неслучайными величинами, а также смешанный случай, когда некоторые из переменных — случайные величины, другие — неслучайные. В случае корреляционной зависимости следует вычислять и интерпретировать коэффициенты корреляции, при регрессионной зависимости это не имеет смыс­ла, а при наличии как случайных, так и неслучайных переменных коэффициенты корреляции следует вычислять только между случай­ными переменными.

Множественная линейная корреляционная зависимость

Рассмотрим отбор факторов для построения множественной линейной зависимости, когда переменные у, х₁, х₂ ..., х_p являются случайными величинами (обычно предполагается, что их совместное распреде­ление нормальное).

Наиболее простой формой зависимости, достаточно строго обоснованной для случая совместного нормального распределения, является линейная зависимость, т.е. зависимость вида

У = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ +... + а_pх_р. (6.1)

Такая зависимость во многих случаях довольно хорошо отражает сложившиеся экономические взаимосвязи. Исходная информация для построения зависимости (6.1) обычно задается в виде некоторой таблицы.

№	Факторы, для которых получены данные
	x1	x2	x3	…	xk	y
1	x11	x21	x31	…	xk1	y1
2	x12	x22	x32	…	xk2	y2
3	x13	x23	x33	…	xk3	y3
…	…	…	…	…	…	…
N	x1n	x2n	x3n	…	xkn	yn

Следует определить, все ли переменные следует включать в уравнение (5.1) или есть переменные, которые существенно не влияют на величину у и их нецелесообразно включать в (6.1). В первом случае р = k, во втором р < k.

Для решения этого вопроса часто используется таблица, составленная из коэффициентов парной корреляции. Элементами такой таблицы являются коэффициенты парной корреляции для всех k факторов.

Таблица имеет вид

	y	x1	x2	x3	…	xk
y	1	ryx1	ryx2	ryx3	…	ryxx
x1	rx1y	1	rx1 x2	rx1x3	…	r x1xk
x2	rx2y	rx2 x1	1		…	r x2xk
x3	rx3y	rx3 x4	rx3 x2	1	…	r x3xk
…	…	…	…	…	…	…
xk	rxky	rxk x1	rxk x2	…	…	1

В клетках таблицы записаны парные коэффициенты корреляции, например, r₃₁ — парный коэффициент корреляции между переменными х₃ и х₁ и др. Коэффициенты r_ij и r_ji;, а также r_xiy и r_yxi совпадают, так как теснота связи между переменными у и х_i такая же, как между х_i и у, аналогично, для х_i и х_j Поэтому таблицу записывают в упрощенной симметричной форме (треугольная форма).

	y	x1	x2	x3	…	xk
y	1	ryx1	ryx2	ryx3	…	ryxx
x1	-	1	ryx2	rx1x3	…	r x1xk
x2	-	-	1	rx2x3	…	r x2xk
x3	-	-	-	1	…	r x3xk
…	…	…	…	…	…	…
xk	-	-	-	-	…	1

По данным такой таблицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную у, а какие — несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

Пример 1.

Пусть получена таблица

	y	— x1	x2	x3
y	1	0,6	0,5	0,7
x1	-	1	0,04	0,03
x2	-	-	1	0,1
x3	-	-	-	1

На основании указанных в таблице парных коэффициентов корреля­ции можно сделать вывод, что связь факторов х₁, х₂, х₃ с фактором у существенная (коэффициенты корреляции, соответственно, 0,6; 0,5; 0,7). Теснота связи между факторами х₁, х₂, х₃ незначительная (коэф­фициенты корреляции 0,04, 0,03, 0,1).

Такая информация наиболее благоприятна для построения уравнения (6.1).

Если факторы-аргументы не являются случайными величинами, то коэффициенты корреляции не могут быть использованы при построении уравнения регрессии, так как они не могут быть интерпретированы как показатели тесноты связи.

Существенность вводимых факторов в случае линейной множественной регрессии может быть проверена одновременно с существенностью коэффициентов регрессии. Для проверки существенности вычисляется отношение

t _i=а_i/σ_i , і=1,n, (6.2)

где а_i- — коэффициент множественной регрессии; σ_i — среднее квадратическое отклонение этого коэффициента.

Если t_i< t_та6л, взятого по таблицам t-распределения Стьюдента, то с заданной вероятностью не отвергается гипотеза, что соответствующий коэффициент регрессии а_i- в генеральной совокупности (который не известен и который нужно оценить по данным выборки) равняется нулю. При этом i-й фактор в таком случае признается несуществен­ным для построенного уравнения регрессии.

При проведении исследования может оказаться, что вычисленные значения t для нескольких факторов не превышают t_табл В этом случае несущественные факторы из уравнения регрессии исключаются поочередно, начиная с наименьшего по абсолютной величине t. Фактор, соответствующий минимальному значению t, из уравнения регрессии исключается, и заново решается система нормальных уравнений. За­тем вновь вычисляются значения t для всех оставшихся в уравнении коэффициентов, определяется минимальное значение t, которое со­поставляется с t_табл. Если окажется, что t_min.< t_табл ,то фактор, имеющий t_min исключается.

Процесс исключения коэффициентов повторяется до тех пор, пока не будет выполняться соотношение t_min.≥ t_табл. В этом случае все оставшиеся в уравнении факторы существенны.

Проводить исключение из уравнения регрессии одновременно несколько факторов, имеющих t < t_табл. нецелесообразно, так как после исключения одного несущественного фактора коэффициенты регрессии других факторов меняются и несущественные факторы после пересчета могут оказаться существенными.

Аналогичный подход осуществляется и при наличии корреляционной зависимости, но на последней стадии отбора существенных факторов. Проверка значимости уравнения регрессии осуществляется по крите­рию Фишера

F =σ²_y / σ²_ост

с числом степеней свободы υ₁= п – 1 и υ ₂ = п -р -1,

где σ²_y =Σ(y_i –y)²/(n-1).

σ²_ост. =Σ(y_i –ŷ_i)²/(n- p-1).

ŷ_i — значения у, полученные по данным наблюдений; у_i — расчетные значения у, полученные для соответствующих значений х₁, х₂, ..., х_р.

Полученное значение F сравнивается с F_та6л при выбранном уровне значимости. Если окажется F> F_та6л, то гипотеза о том, что х₁, х₂, ..., х_р не имеют существенного влияния на у, отвергается.

Если F>F_та6л, , то следует ввести некоторые другие факторы, влияющие на показатель у, или перейти к построению нелинейной множественной регрессии.