Основные свойства логических операций

1 Ассоциативность:

Х1 Ù ( Х2 Ù Х3 ) = ( Х1 Ù Х2 ) Ù Х3

( Х1 Ú Х2 ) Ú Х3 = Х1 Ú ( Х2 Ú Х3 )

2 Коммутативность

Х1 Ú Х2 = Х2 Ú Х1

3 Двойное отрицание

`Х = Х

4 Закон противоречия

`Х Ù Х = 0

5 Свойства констант

Х Ù 1 = Х, Х Ù 0 = 0, Х Ú 1 = 1, Х Ú 0 = Х,

6 Закон «исключения третьего»

`Х Ú Х = 1.

Эти равенства остаются справедливыми при подстановке вместо переменных любых логических функций.

Выражение из букв, знаков операций и скобок, обозначающих высказывание или форму для высказывания, называется формулой алгебры высказывания. Скобки, как и в обычной алгебре, играют роль знаков препинания и используются для определения порядка операций.

Для описания внешнего мира и поиска решений в искусственном интеллекте широко используются язык и аппарат исчисления предикатов. Исчисление (или алгебра) предикатов представляет собой развитие исчисления высказываний и включает его полностью как составную часть. Поэтому знакомство с исчислением предикатов начнем с рассмотрения исчисления высказываний.

Исчисление высказываний. В математической логике высказыванием называется такое предложение, которое истинно или ложно. Условимся высказывания обозначать прописными латинскими буквами без индексов и с индексами А, В, С,… и называть пропозициональными. В соответствии с тем, что высказывания могут быть, истинными и ложными, пропозициональные буквы могут принимать истинностные значения - И (истина) и Л (ложь). Иногда, в частности в теории конечных автоматов, вместо истинностных значений (И и Л) используют соответственно 1 и 0.

Предикат Р(х), определенный на предметной области М, задает определенное свойство элементам множества М и интерпретируется как обозначение высказывания «х обладает свойством Р», причем Р(х) принимает значение И, если это высказывание истинно, и значение Л, если оно ложно, т.е.предикат трактуется как логическая функция одной или нескольких предметных переменных (одного или нескольких субъектов) в зависимости от того, отражает высказывание свойства предметов или отношения между предметами.

Предикат символически обозначают функциональными знаками с одним или несколькими пустыми местами одной или несколькими переменными, занимающими пустые места.

Одноместный предикат обозначается Р( ) или Р(Х), где X -переменная для чисел или объектов.

Область определения этой логической функции - это множество

N - натуральных чисел.

N ® {И, Л}

Р(X) разбивает область определения на два множества: одно истинно, а другое ложно.

С помощью многоместных предикатов выражаются отношения между предметами.

Двухместный предикат или логическая функция двух числовых переменных Х,У, образующаяся при любой подстановке вместо Х и У пары чисел из области определения D, переводит эту функцию в истинное или ложное высказывание.

Предикат Ð (X, У) определен на множестве всевозможных пар чисел из области D, т.е. область определения это множество D (пара чисел), а заполнения - истинно или ложно.

D {И, Л}

Пусть предикат Ð(х,у) А А ={3, 4, 5, 6}

М [(х,у) ÎА L Ð (х,у)] = {(3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 5) (4, 6) (5, 6)}

Остальные высказывания ложные.

Т.к. предикаты - логические функции, то к ним применимы все операции логики высказываний, позволяющие формировать сложные предикаты. Из предикатов можно (формировать) строить не только высказывания, относящиеся к определенному предмету или определенной системе предметов, но и высказывания выражающие свойства целого множества, т.е. высказывания о всеобщности. Для построения таких высказываний вводится операция называющаяся - квантор.

"X - для всех X - квантор общности.

Существует Х такое, что - $X - квантор существования.

Итак, в логических моделях систему знаний о предметной области, необходимую для решения прикладных задач, рассматривают как совокупность фактов (утверждений). Последовательность действий при формировании вывода достаточно сложна и, безусловно, требует использования вычислительной техники. Вместе с тем исчисление предикатов находит ограниченное применение при создании систем автоматизированного проектирования технологических процессов. В частности, оно используется при создании САПР ТП для выбора схем установок заготовок.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:

1. Какие значения принимает логическая функция?

2. Перечислите основные свойства логических операций.

3. Что называется формулой алгебры высказывания?

4. Что можно представить с помощью многоместных предикатов?