2 Вопрос. Ошибки выборки.

Основной задачей выборочного наблюдения является определение ошибок выборки, т.е. возможных расхождений между выборочной средней ( ) и генеральной средней ( ) или между выборочной долей ( ) и генеральной долей ( ).

Средняя (стандартная) ошибка выборки – обозначается буквой ( ) называется среднее квадратическое отклонение возможных значений выборочной средней ( ) от генеральной средней ( )

L – число всевозможных выборок

– выборочное среднее

1 ≤ i ≤ l

02.04.13 Лекция

Или выборочной доли w от генеральной доли (p)

Средняя ошибка выборки (мю) характеризует среднюю величину возможных расхождений выборочной и генеральной средней (или доли).

В математической статистике доказывается что в случае повторной выборки (мю квадр) – дисперсия возможных значений выборочной средней, в n раз меньше дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности. ., .

Таким образом средняя ошибка выборки тем меньше, чем больше объем выборки n .

Средняя ошибка выборки зависит от степени вариации изучаемого признака. Характеристикой вариации выступает генеральная дисперсия.

Чем меньше вариация признака тем меньше средняя ошибка выборки.

Таблица 2. Средняя ошибка в зависимости от способа формирования выборочной совокупности.

Вид выборки	Повторный отбор		Бесповторный отбор
	Для средней (мю х волн)	Для доли (мю w)	Для средней (мю х волн)	Для доли (мю w)
Собственно-случайная или механическая
Типическая (при отборе пропорциональна объему групп)
Серийный

1. При расчете средней ошибки выборки при бесповторном отборе под знаком радикала появляется множитель (1-n/N)

2. На практике величина дисперсии признака генеральной совокупности неизвестна, по этому формулы ошибки выборки подставляют дисперсию выборочной совокупности. Выборочная дисперсия несколько меньше генеральной. В математической статистике доказывается следующее равенство . При достаточно больших n , и выборочная дисперсия практически совпадает с генеральной дисперсией. . Выборку считают безусловно большой при n>100. Выборку считают безусловно малой при n меньше 20, средняя ошибка малой выборки

3. При типической выборке средняя ошибка зависит только от средней групповых дисперсий .

.

4. При серийной выборке средняя ошибка зависит не от числа обследованных единиц, а от числа обследованных серий r и от величины меж серийной дисперсии. . Хi (с волной) – среднее i серии, х (с волной) – общее среднее по всех выборке. . Wi – доли единиц определенной категории в iй серии w( с волной) - доля единиц в этой категории во всей выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки

Предельная ошибка выборки – максимально возможной расхождение выборочной и генеральной характеристик. Обозначают (дельта треугольник)

Предельная ошибка выборки (дельта) рассчитывается как t кратное значение ошибки .

t называется коэффициентом доверия и определяется по специальным таблицам в зависимости от доверительной вероятности . При достаточно больших значениях n (Интеграл Лапласа) (рисунок 29)

t	1	1,96	2,0	2,58	3,0
F(t)	0,683	0,95	0,954	0,99	0,997

При t=1 вероятность F(t) отклонение выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки (мю) равна 0,683 . Следовательно, в среднем у каждой из 1000 выборок 683 дадут обобщающие показатели (средняя или доля) которые будут отличаться от генеральных не более чем на однократную среднюю ошибку (мю). При t=2, F(t)=0,954, что означает, что в среднем у каждой тысячи выборок 954 дадут обобщающие показатели, которые будут отличаться от генеральных не более чем на двукратную среднюю ошибку (мю) .

В случае малой выборки n меньше 30 вероятность попадания среднего значения изучаемого признака генеральной совокупности в пределы от (равносильно определяется по формуле . Случайная величина для малых выборок имеет распределение Стьюдента. (РИСУНОК 35)

S(t) называется функцией вероятности Стьюдента и характеризует вероятность того, что рассчитанные коэффициент доверия t фактическое не превысит заданного t табличного.

3 вопрос. Предельная ошибка выборки позволяет определить:

1. Доверительные интервалы для генеральной средней и для генеральной доли.

,

,

.

Пределы, в которых заданной вероятностью будет заключен неизвестный показатель генеральной совокупности называются доверительным интервалом, а вероятность доверительной вероятностью.

2. Вероятность допуска той или иной заданной предельной ошибки (дельта). Для этого сначала рассчитывают коэффициент доверия t = (дельта на мю) и затем находят F(t) по таблице значений интеграла Лапласа (при n больше 30) или S (t) по таблице значений функций Стьюдента, а затем 2S(t) – 1

3. Необходимую численность выборки n, обеспечивающие с определенной вероятностью заданную точность (дельта). Формулы для n получаются из соответствующих формул предельной ошибки

Таблица 3. Численность выборки при собственно-случайном отборе.

Способ отбора	Формула расчета для
	Средней	Доли
Повторный
Бесповторный

Пи определении необходимого объема выборки n по приведенным формулам возникает трудность в нахождении (сигмы квадрат) и w. Так как эти величины можно получить только после проведения выборочного обследования. В этом случае подставляют приближенные значения, которые могли быть получены на основе пробных наблюдений, или из аналогичных предыдущих обследований. Если известно (икс с чертой) (по стандартам инструкциям и т.д.), то сигму берут равной 1/3(икс с чертой). Если известен размах вариации R, то (сигма) =1/6R для распределения близких к нормальному, или (сигма)=1/5.