3. Степенные функции с одинаковыми степенями частных функций
Рассмотрим случай,
когда частные функции являются степенными
функциями, причем степени частных
функций в целевой функции и
функции-ограничения одинаковы, но между
функциями - различны. Пусть
,
,
,
,
.
Легко проверить, что
и
,
,
являются
выпуклыми функциями
в области
,
в которой и
ищется решение. Тогда
/
=
=
=
.
Отсюда
.
Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем
(
)
(
)
=
.
Тогда
=
(
(
)
)
и оптимальное значение равно
= ( ( ) ) .
Тем самым решение оптимальной задачи найдено и это решение в силу.
Рассмотрим
двойственную
задачу. Пусть
,
,
,
,
.
Решение ищем в области
Тогда
/
=
=
/
=
.
Отсюда
.
Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем
(
)
(
)
=
.
Тогда
=
(
(
)
)
и оптимальное значение равно
= ( ( ) ) .